Marginális értékek

1. Sablon:Label A marginális értékek a statisztikában és a valószínűségszámításban fontos fogalmak, amelyek a többváltozós eloszlások esetén a változók közötti kapcsolatok vizsgálatában játszanak szerepet. A marginális értékek általában egy vagy több valószínűségi változó eloszlását reprezentálják, figyelmen kívül hagyva a többi változót.

Marginális eloszlás

A marginális eloszlás a többváltozós eloszlásban egy adott változó eloszlását jelenti, amely a többi változó hatását nem veszi figyelembe. Ha például van egy kétváltozós eloszlásunk $(X,Y)$, akkor a marginális eloszlások a következők:

1. Marginális eloszlás $X$: $$f_X(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_{X,Y}(x,y)dy$$ Ez a kifejezés a $Y$ változó feletti integrál, amely megadja $X$ eloszlását.

2. Marginális eloszlás $Y$: $$f_Y(y)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_{X,Y}(x,y)dx$$ Ez a kifejezés a $X$ változó feletti integrál, amely megadja $Y$ eloszlását.

Példa

Tegyük fel, hogy van egy közös eloszlásunk $f_{X,Y}(x,y)$, amely a következőképpen néz ki: $$f_{X,Y}(x,y)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{4},& \text{ha }0<x<2\text{ és }0<y<2\\ 0,& \text{máskülönben}\end{array}$$

1. Marginális eloszlás $X$: $$f_X(x)=\underset{0}{\overset{2}{\int }}{f}_{X,Y}(x,y)dy=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{4}dy=\frac{1}{4}\cdot 2=\frac{1}{2}(0<x<2)$$

2. Marginális eloszlás $Y$: $$f_Y(y)=\underset{0}{\overset{2}{\int }}{f}_{X,Y}(x,y)dx=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{4}dx=\frac{1}{4}\cdot 2=\frac{1}{2}(0<y<2)$$

Marginális értékek és várható értékek

A marginális eloszlások segítségével kiszámíthatók a marginális várható értékek is. Ha például a marginális eloszlás $f_X(x)$ ismert, akkor a várható érték a következőképpen számolható: $$E[X]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}x{f}_X(x)dx$$

Összegzés

A marginális értékek a többváltozós eloszlások esetén a különböző változók egyedi eloszlását mutatják meg, figyelmen kívül hagyva a többi változót. Ezek segítenek megérteni a változók közötti kapcsolatokat, és lehetővé teszik a statisztikai jellemzők, például a várható értékek kiszámítását. Sablon:Hunl