Maradékosztály

1. Sablon:Matematika Legyen az m egy 1-nél nagyobb természetes szám. Az egész számok szétválogathatók aszerint, hogy az m-mel való maradékos osztás után mennyit adnak maradékul. Ha két egész szám az m-mel maradékosan elosztva ugyanannyit ad maradékul, akkor azt mondjuk, hogy ez a két egész szám egymással kongruens. A kongruencia egy ekvivalenciareláció, és az általa létrehozott ekvivalenciaosztályok az m szerinti maradékosztályok. Minden m esetében m darab különböző maradékosztály létezik.

Szabatosan megfogalmazva: tetszőleges $m\ge 2$ egész esetén az egész számok $\mathbb{Z}$ halmaza m diszjunkt osztály uniójára bomlik fel, mégpedig úgy, hogy $0\le i\le m-1$ esetén az i-dik osztályban $k\cdot m+i$ alakú számok vannak, ahol k végigfut az egészeken (más szóval, az i-dik osztályba az m-mel osztva i maradékot adó számok tartoznak). Ezeket az osztályokat m szerinti, vagy másképpen modulo m (rövid jelölése: mod m) maradékosztályoknak nevezzük. A maradékosztályok jelentősége az, hogy ha két szám azonos maradékosztályba esik (modulo m), akkor kongruensek egymással modulo m, ha pedig különböző maradékosztályból valók, akkor nem kongruensek.

Egy modulo m maradékosztályból kiválasztott tetszőleges a elemet a maradékosztály reprezentáns elemének nevezzük, s azt mondjuk, hogy a reprezentálja a maradékosztályt. Sablon:-ford-

• Sablon:En: Sablon:T, Sablon:T

• moduláris aritmetika
• maradékosztálygyűrű