Mértani sorozat

1. Sablon:Matematika Olyan számsorozat, melyben a szomszédos tagok hányadosa (nullától különböző) állandó. Általános alakja $a,aq,a{q}^2,a{q}^3,\dots$ ahol a és q tetszőleges, nemnulla számok. Például a 81, -27, 9, -3, 1 számok egy $-\frac{1}{3}$ hányadosú mértani sorozat tagjai. Legyen a sorozat $n$-edik tagja $a_n$. Ekkor: $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$ vagy $|a_n|=\sqrt{a_{n-i}\cdot a_{n+i}}$ ahol $i\in \mathbb{N}$. Ez utóbbi azt is jelenti, hogy a mértani sorozat $n$-edik tagja az $n+i$-edik és az $n-i$-edik tagjának a mértani közepe.

---

A mértani sorozat (más néven geometriai sorozat) a matematika egyik alapvető sorozattípusa, amelyben az egymást követő elemek hányadosa állandó. Ez a hányados a kvóciens, és a sorozat minden elemét az előző elem megszorzásával kapjuk meg.

---

1. Mértani sorozat definíciója

Egy sorozat $a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n$ akkor mértani sorozat, ha minden elem és az azt követő elem hányadosa állandó: $\frac{a_{n+1}}{a_n}=q,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},$ ahol:

• $a_1$: a sorozat első eleme ($a_1\ne 0$),
• $q$: a mértani sorozat kvóciense ($q\ne 0$).

A sorozat általános $n$-edik tagja: $a_n=a_1\cdot q^{n-1},n\ge 1.$

---

2. Példák mértani sorozatra

Egyszerű példák:

1. $a_1=2$, $q=3$:

$a_n=2\cdot 3^{n-1}$: Sorozat: $2,6,18,54,162,\dots$.

1. $a_1=1$, $q=\frac{1}{2}$:

$a_n=1\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$: Sorozat: $1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\dots$.

Reális példák:

1. Kamatos kamat:

Ha a kezdőtőkét ($a_1$) évente $q$-szeresére növeljük (például $q=1.05$ az 5%-os kamat esetén), akkor a $n$-edik évben a tőke: $a_n=a_1\cdot q^{n-1}.$

1. Fertőzések terjedése:

Ha egy fertőző betegség naponta $q=2$-szeresére nő, akkor a $n$-edik napon fertőzöttek száma: $a_n=a_1\cdot 2^{n-1}.$

1. Sugárzás lebomlása:

Radioaktív anyagok esetében a sugárzás intenzitása csökken, például $q=0.5$, azaz feleződési idővel.

---

3. Mértani sorozat összegképlete

Összeg véges sorozat esetén:

A mértani sorozat első $n$ tagjának összege ($S_n$) az alábbi képlettel számítható: $S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q},q\ne 1.$ Ha $q=1$, akkor a sorozat elemei azonosak, így az összeg: $S_n=n\cdot a_1.$

Példa:

1. $a_1=2$, $q=3$, $n=4$:

$S_4=2\frac{1-3^4}{1-3}=2\frac{1-81}{-2}=2\cdot 40=80.$

Összeg végtelen sorozat esetén:

Ha a kvóciens abszolút értéke kisebb 1-nél ($|q|<1$), akkor a végtelen mértani sorozat összege konvergens, és az alábbi képlettel számítható: $S_{\mathrm{\infty }}=\frac{a_1}{1-q}.$

Példa:

1. $a_1=1$, $q=0.5$:

$S_{\mathrm{\infty }}=\frac{1}{1-0.5}=2.$

---

4. Mértani sorozatok tulajdonságai

Növekedés vagy csökkenés:

1. Ha $q>1$: a sorozat növekvő.
2. Ha $0<q<1$: a sorozat csökkenő.
3. Ha $-1<q<0$: a sorozat elemei váltakoznak előjelesen, de abszolút értékük csökken.
4. Ha $q<-1$: a sorozat elemei váltakoznak előjelesen, de abszolút értékük növekszik.

Tartományok:

• A sorozat elemeinek előjele a kvócienstől függ:
• Ha $q>0$: minden elem azonos előjelű.
• Ha $q<0$: az elemek előjele váltakozik.

Harmónikus közép és szorzat:

1. Ha egy mértani sorozat három egymást követő tagja $a,b,c$, akkor:

$b^2=a\cdot c.$ Ez az elemek mértani középének tulajdonsága.

---

5. Kapcsolat az exponenciális növekedéssel

A mértani sorozatok szoros kapcsolatban állnak az exponenciális növekedéssel, mert a sorozat $n$-edik tagja: $a_n=a_1\cdot q^{n-1},$ ahol az alap ($q$) konstans, és a kitevő ($n-1$) a változó.

Ezért a mértani sorozatok modellezik azokat a jelenségeket, amelyek exponenciális növekedést vagy csökkenést mutatnak, például:

• Kamatos kamat,
• Populációnövekedés,
• Radioaktív bomlás.

---

6. Mértani sorozat és valószínűségszámítás

A valószínűségszámításban a geometriai eloszlás a mértani sorozaton alapul. Egy esemény $k$-adik bekövetkezésének valószínűsége: $P(X=k)=p\cdot (1-p{)}^{k-1},$ ahol $p$ az esemény valószínűsége, $1-p$ pedig a kudarcos próbálkozások valószínűsége.

Ez egy mértani sorozat, ahol az első tag $p$, és a kvóciens $1-p$.

---

7. Történelmi háttér

A mértani sorozatok vizsgálata az ókori görög matematikusokig nyúlik vissza. A Püthagoreusok fedezték fel a mértani közepet, és alkalmazták zenei skálák és arányok vizsgálatára. Az újkori matematikában a sorozatok széles körű alkalmazást nyertek a gazdasági modellekben, a fizikában és a valószínűségszámításban.

---

8. Gyakorlati alkalmazások

1. Pénzügyek:

• Kamatos kamatszámítás.
• Törlesztőrészletek kiszámítása.

1. Fizika:

• Radioaktív bomlás.
• Hullámok amplitúdójának csökken

---

• Sablon:En: Sablon:T, Sablon:T
• Sablon:De: Sablon:T

Sablon:-etim- mértani + sorozat Sablon:Hunl