Mértékelmélet

1. Sablon:Humatek A mértékelmélet a modern matematikának egy olyan ága, amely a halmazokra és azok részhalmazaira vonatkozó mértékek (angolul "measure") bevezetésével foglalkozik. A mérték fogalmát leggyakrabban területek, hosszok, térfogatok általánosítására használják, de a mértékelmélet ennél sokkal tágabb keretek között alkalmazható, és az analízis, a valószínűségelmélet, valamint a funkcionálanalízis alapját is képezi.

Alapfogalmak: 1. Mértéktér: Egy $(X,𝒜,\mu )$ hármas, ahol: - $X$ egy nem üres halmaz (az ún. "alaphalmaz"), - $𝒜$ egy halmazrendszer (σ-algebra), amely $X$ részhalmazait tartalmazza, és amelyekre mértéket definiálunk, - $\mu$ egy mérték, amely minden $A\in 𝒜$-ra egy nemnegatív számot rendel, vagyis $\mu :𝒜\to [0,\mathrm{\infty }]$.

2. Mérték: Egy funkció, amely teljesíti a következő tulajdonságokat: - Nemnegatív: $\mu (A)\ge 0$ minden $A\in 𝒜$-ra. - Nullmértékű halmaz: Ha $A=\mathrm{\varnothing }$, akkor $\mu (A)=0$. - σ-additivitás: Ha $A_1,A_2,\dots \in 𝒜$ egymást kizáró halmazok, akkor $\mu \left({\bigcup }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)={\sum }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (A_i)$.

Fontos példák: 1. Lebesgue-mérték: Az egyik legfontosabb mérték az ${ℝ}^n$ térben, amely általánosítja a klasszikus terület- és térfogatszámítást. 2. Dirac-mérték: Egy mérték, amely egyetlen pont súlyát adja meg. Például egy pontszerű részecske helyét modellezi a térben.

Alkalmazások: - Valószínűségelmélet: A valószínűségi eloszlások mértékekkel írhatók le, ahol az alaphalmaz események halmazából áll, a mérték pedig a valószínűséget reprezentálja. - Integrálelmélet: A Lebesgue-integrál fogalma mértékelméleti alapokon nyugszik, lehetővé téve a függvények szélesebb osztályainak integrálását. - Fizika: Fizikai rendszerekben az energia, tömeg, és egyéb mennyiségek mértékeinek kiszámításában is alkalmazható.

A mértékelmélet tehát alapvető szerepet játszik a matematikában és annak alkalmazásaiban, különösen a valószínűségelmélet, analízis és a matematika több ágában. Sablon:-ford- Sablon:Trans-top

• Sablon:En: Sablon:T+
• Sablon:Fr: Sablon:T