Logikai szitaformula

1. Sablon:Label A logikai szitaformula egy alapvető tétel a valószínűségszámításban és kombinatorikában, amely lehetővé teszi több esemény uniójának valószínűségének kiszámítását az egyes események valószínűségeinek és azok átfedéseinek figyelembevételével.

Inklúzió-exklúzió elve (Logikai szitaformula)

Két esemény $A$ és $B$ esetén az unió valószínűsége így számítható:

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

Három esemény $A$, $B$ és $C$ esetén a logikai szitaformula a következőképpen alakul:

$$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)$$

Ez a formula úgy működik, hogy hozzáadjuk az egyes események valószínűségeit, kivonjuk a páronkénti metszetek valószínűségeit (mivel ezek kétszer szerepeltek a hozzáadás során), majd hozzáadjuk a három esemény közös metszetének valószínűségét (mivel azt túl sokszor vontuk ki).

Általános alak (n eseményre)

Ha $n$ esemény van ($A_1,A_2,\dots ,A_n$), az inklúzió-exklúzió elve általánosítható:

$$P\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)-\sum _{1\le i<j\le n}P(A_i\cap A_j)+\sum _{1\le i<j<k\le n}P(A_i\cap A_j\cap A_k)-\dots +(-1{)}^{n+1}P(A_1\cap A_2\cap \dots \cap A_n)$$

Ez a tétel különösen hasznos több esemény átfedésének kezelésekor, hogy elkerüljük a többszörös számolást.

Példa

Tegyük fel, hogy szeretnéd kiszámítani annak a valószínűségét, hogy egy dobókockával dobott szám 1, 2 vagy 3 lesz. Az események:

• $A$: "1-est dobtam",
• $B$: "2-est dobtam",
• $C$: "3-ast dobtam".

Mivel ezek az események egymást kizárják (egy dobás során egyszerre csak egy szám jöhet ki), a szitaformula leegyszerűsödik:

$$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=0.5$$

Tehát annak a valószínűsége, hogy 1-est, 2-est vagy 3-ast dobunk, 0,5.

A logikai szitaformula bonyolultabb esetekben, ahol több esemény átfedi egymást, különösen hasznos eszköz.

• Sablon:En: Sablon:T, Sablon:T
• Sablon:De: Sablon:T