Lie-algebra

1. Sablon:Label A Lie-algebrák (ejtsd: lí-algebrák) algebrai struktúrák, amelyek különösen fontosak a szimmetriák és a differenciálegyenletek tanulmányozásában. Egy vektortérből és egy Lie-bracket nevű bináris műveletből állnak, amely két fő tulajdonsággal rendelkezik:

1. Lineáris: A Lie-bracket lineáris mindkét argumentumban. Ha $x,y,z$ a Lie-algebra elemei és $a,b$ skalárok, akkor: $$[ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z]$$ $$[z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]$$

2. Antiszimmetrikus: A Lie-bracket antiszimmetrikus, azaz: $$[x,y]=-[y,x]$$

3. Jacobi-azonosság: A Lie-bracket kielégíti a Jacobi-azonosságot: $$[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0$$

Példák Lie-algebrákra

- Mátrix Lie-algebrák: Az $n\times n$ mátrixok halmaza Lie-algebrát alkot a kommutátoros bracket művelettel, amelyet így definiálunk: $[A,B]=AB-BA$.

- Abeliánus Lie-algebrák: Bármely vektortér, ahol a Lie-bracket minden $x,y$ esetén 0, abeliánus Lie-algebra.

- Vektormezők Lie-algebrája: A sima vektormezők halmaza a manifoldon Lie-algebrát alkot a vektorok közötti kommutátoros brackettel definiálva.

Alkalmazások

A Lie-algebrák széles körben használatosak a fizikában, különösen a kvantummechanikában és a részecskefizikában a szimmetriák tanulmányozására. Matematikai területeken, például geometriában és topológiában is megjelennek.

• Sablon:En: Sablon:T
• Sablon:Ru: Sablon:T