Laplace-transzformáció

1. Sablon:Matematika A Laplace-transzformáció egy olyan függvénytranszformáció, aminek révén egyes függvényekkel kapcsolatos problémákra kaphatunk egyszerűen választ. Eredetileg Heaviside fejlesztette ki a differenciálegyenletek megoldásához segédeszközként.

Definíció

Legyen $f:ℝ\to ℂ$ függvény, mely minden t≥0 valós számra értelmezett. A függvény Laplace-transzformáltjának nevezzük az

$F(s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-st}\mathrm{d}t$

függvényt. A transzformált létezésének feltétele, hogy a definícióban szereplő integrál véges legyen.

Ha a transzformált létezik és véges, akkor $f(t)$-t generátorfüggvénynek nevezzük. A transzformált jelölése: $L[f]=F$

A transzformált létezésére elegendő feltétel, ha $f(t)$ a pozitív féltengelyen szakaszonként folytonos és exponenciálisan korlátos, azaz van olyan $M>0$ és $s_0$ valós szám, hogy az $f(t)\le M{e}^{s_{0}t}$ egyenlőtlenség teljesül. Egészen pontosan a transzformált létezik minden olyan $s\in ℂ$ szám esetén, amire $\Re 𝔢(s)\ge s_0$.

• Sablon:En: Sablon:T