Lagrange-tétel

1. Sablon:Humatek Legyen G véges csoport, $H\le G$ részcsoport. Ekkor $|H|\mid |G|$. Véges csoport részcsoportjának rendje mindig osztója a csoport rendjének.

---

Lagrange-tétel

Definíció

A Lagrange-tétel a csoportelmélet egyik alapvető tétele, amely kimondja:

Továbbá: $|G|=|H|\cdot [G:H],$ ahol $[G:H]$ a $H$ alcsoportra vett bal oldali mellékosztályok száma ($G$-ben lévő $H$-hoz tartozó különböző bal oldali mellékosztályok száma).

Fogalmak

Csoport

- Egy csoport ($G,\cdot$) egy algebrai struktúra, amelyben:

 - Van egy bináris művelet ($\cdot$),
 - Létezik egy egységelem ($e$),
 - Minden elemnek van inverze ($g^{-1}$),
 - A művelet asszociatív ($(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$).

Alcsoport

- $H\subseteq G$ akkor alcsoport, ha:

 - $H$ elemei is csoportot alkotnak a $G$ csoport műveletével,
 - $H$ zárt a műveletre nézve,
 - Az egységelem benne van $H$-ban.

Bal oldali mellékosztály

- Egy $g\in G$ elemhez tartozó $H$ alcsoportra vett bal oldali mellékosztály: $gH=\{g\cdot h\mid h\in H\}.$

Rend

- Egy csoport ($G$) rendje ($|G|$) az elemeinek száma. - Egy alcsoport ($H$) rendje ($|H|$) szintén elemeinek száma.

Lagrange-tétel Bizonyítása

1. Bal oldali mellékosztályok felosztása

1. Legyen $G$ véges csoport és $H$ alcsoportja.
2. Határozzuk meg a $H$ alcsoportra vett bal oldali mellékosztályokat:

  $g_{1}H,g_{2}H,\dots ,g_{k}H,$
  ahol $g_i\in G$, és a mellékosztályok nem metszik egymást.

2. Diszjunkt halmazok

- Két különböző $g_i,g_j$ esetén ($g_i\ne g_j$): $g_{i}H\cap g_{j}H=\mathrm{\varnothing }.$ - Minden $g\in G$ pontosan egy mellékosztályba tartozik.

3. Az elemek száma

- Minden mellékosztály pontosan $|H|$ elemet tartalmaz (ez a $H$ rendje). - A $G$ csoport elemeinek teljes száma ($|G|$) a mellékosztályok számának ($[G:H]$) és a $H$ rendjének ($|H|$) szorzata: $|G|=|H|\cdot [G:H].$

4. Következtetés

- Mivel $|G|$ osztható $|H|$-val, $|H|$ osztója $|G|$-nek.

Példák

1. Ciklikus csoportok

- Legyen $G={\mathbb{Z}}_6$ ($\{0,1,2,3,4,5\}$ modulo 6 összeadás művelettel). - Legyen $H=\{0,3\}$ (${\mathbb{Z}}_6$-nek az alcsoportra szűkítése). - $|G|=6$, $|H|=2$, $[G:H]=3$. - Teljesül: $|G|=|H|\cdot [G:H]=2\cdot 3.$

2. Permutációs csoport

- Legyen $G=S_3$ ($6$ elemű permutációs csoport). - $H=\{e,(12)\}$ ($|H|=2$). - $[G:H]=3$, mivel három különböző mellékosztály létezik. - Teljesül: $|G|=|H|\cdot [G:H]=2\cdot 3=6.$

Fontos Következmények

1. Csoport szerkezete:

  - Az alcsoportrendezett csoportok mindig oszthatók az alcsoportrendezettek méretével.

1. Véges csoportok:

  - Véges csoportban minden elem rendje osztója a csoport rendjének.

1. Ciklikus csoportok:

  - Ha $G$ ciklikus csoport, akkor minden $d$-re ($d$ osztója $|G|$-nek) létezik $d$-rendű elem.

Összegzés

A Lagrange-tétel az algebra egyik alapvető tétele, amely a véges csoportok szerkezetének megértéséhez nyújt eszközt. A tétel biztosítja, hogy egy véges csoport bármely alcsoportrendezettje osztója a teljes csoport méretének, és ezáltal egyensúlyt teremt a csoport alapszerkezete és az alcsoporrendszerek között.

• Sablon:En: Sablon:T