Korrelációhányados

1. Sablon:Label A korrelációs együttható (vagy korrelációs hányados) egy statisztikai mérőszám, amely két változó közötti lineáris kapcsolat erősségét és irányát jellemzi. A leggyakrabban használt korrelációs együttható a Pearson-féle korrelációs együttható, de léteznek más típusok is, mint például a Spearman-féle vagy Kendall-féle korrelációs együttható.

Pearson-féle korrelációs együttható ($r$): A Pearson-féle korrelációs együttható a következőképpen számítható: $$r=\frac{n(\sum xy)-(\sum x)(\sum y)}{\sqrt{[n\sum x^2-(\sum x{)}^2][n\sum y^2-(\sum y{)}^2]}}$$ ahol: - $n$ a megfigyelések száma, - $x$ és $y$ a két vizsgált változó.

Értelmezés: - $r=1$: Tökéletes pozitív lineáris korreláció (amikor az egyik változó nő, a másik is nő). - $r=-1$: Tökéletes negatív lineáris korreláció (amikor az egyik változó nő, a másik csökken). - $r=0$: Nincs lineáris korreláció (a változók között nincs lineáris kapcsolat). - $0<r<1$: Pozitív korreláció (a változók között pozitív kapcsolat áll fenn). - $-1<r<0$: Negatív korreláció (a változók között negatív kapcsolat áll fenn).

Példa: Tegyük fel, hogy a következő adataink vannak:

(x)	(y)
1	2
2	3
3	4
4	5
5	6

A Pearson-féle korrelációs együttható számítása során a következő értékeket találjuk: - $n=5$ - $\sum x=15$ - $\sum y=20$ - $\sum xy=70$ - $\sum x^2=55$ - $\sum y^2=110$

A korrelációs együttható kiszámításával: $$r=\frac{5(70)-(15)(20)}{\sqrt{[5(55)-(15{)}^2][5(110)-(20{)}^2]}}=\frac{350-300}{\sqrt{[275-225][550-400]}}=\frac{50}{\sqrt{50\cdot 150}}=1$$

Ez a példa tökéletes pozitív korrelációt mutat.

Összefoglalva: A korrelációs együttható hasznos eszköz a változók közötti kapcsolatok mérésére, segítve a kutatókat abban, hogy megértsék, hogyan befolyásolják egymást a vizsgált jellemzők.