Konvergenciasugár

1. Sablon:Humatek Az $x_0$ körüli hatványsor konvergenciasugara az a legnagyobb szám, amit $r$-rel jelölve a hatványsor minden $x$-re konvergens, amire $|x-x_0|<r$. Vagyis a konvergenciasugár a konvergenciakör sugara. Ha a konvergencia a középpontra korlátozódik, akkor a hatványsort sehol sem konvergensnek tekintik; ha minden pontban konvergens, akkor mindenütt konvergens, a konvergenciasugár végtelen.

A konvergenciasugár a Cauchy-Hadamard-képlettel számítható:

$r=\frac{1}{\mathrm{lim\; sup}{\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)}.$

Sok esetben a hatványsor egyszerűbben is számítható. Ugyanis, ha a hatványsor együtthatói között legfeljebb véges sok nulla van, akkor:

$r=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|,$

hogyha a határérték létezik.

A konvergencia fajtái és a konvergenciasugár kapcsolata:

• $|x-x_0|<r$ esetén a hatványsor abszolút konvergens
• ha $|x-x_0|>r$, akkor divergens
• hogyha $|x-x_0|=r$, akkor nem lehet semmit sem mondani a konvergenciáról
• ha pedig $|x-x_0|\le r^{\prime }<r$, akkor a hatványsor egyenletesen is konvergens minden $x$-re, amire $|x-x_0|\le r^{\prime }$.