Konfidencia határok

1. Sablon:Label A konfidencia határok (vagy konfidenciaintervallum) egy statisztikai eszköz, amely a minta alapján becsült populációs paraméterek (például átlag vagy arány) becslésének megbízhatóságát jelzi. A konfidencia határok egy adott megbízhatósági szint (például 95% vagy 99%) mellett határozzák meg, hogy a becslés milyen tartományon belül található.

1. Konfidenciaintervallum fogalma A konfidenciaintervallum a következőképpen értelmezhető: - Becslés: A minta statisztikai jellemzői (pl. átlag, szórás) alapján készített becslés a populációra vonatkozóan. - Konfidenciakészlet: A becslés körüli intervallum, amely valószínűségi eloszlás alapján mutatja, hogy a valódi paraméter valószínűleg hol helyezkedik el.

2. Konfidenciaintervallum kiszámítása A konfidenciaintervallum általában a következő lépésekkel számítható ki:

1. Minta kiválasztása: Véletlenszerűen kiválasztott minta adatainak gyűjtése.

2. Statikus jellemzők meghatározása: Számítsuk ki a minta átlagát ($\overline{x}$) és a szórását ($s$).

3. Konfidenciaszint kiválasztása: Válasszunk ki egy megbízhatósági szintet ($1-\alpha$), például 95% vagy 99%.

4. Kritikus érték meghatározása: A kiválasztott konfidenciaszinthez tartozó kritikus érték (z-érték vagy t-érték) meghatározása a normál eloszlás vagy a t-eloszlás táblázatából.

5. Konfidenciaintervallum kiszámítása: Az intervallum a következő képlettel határozható meg: - Ha a populáció szórása ismert: $$\text{CI}=\overline{x}\pm z_{\alpha /2}\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$ - Ha a populáció szórása ismeretlen: $$\text{CI}=\overline{x}\pm t_{\alpha /2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$$ Ahol: - $\overline{x}$: mintaátlag - $z_{\alpha /2}$ vagy $t_{\alpha /2}$: kritikus érték - $\sigma$: populációs szórás (ha ismert) - $s$: minta szórás (ha a populáció szórása ismeretlen) - $n$: a minta mérete

3. Példa Tegyük fel, hogy egy kutatás során 30 diák teszt eredményét mérjük, és az átlagos eredmény 75, míg a minta szórása 10.

1. Mintaátlag: $\overline{x}=75$ 2. Minta szórás: $s=10$ 3. Kritikus érték: 95% konfidenciára $t_{0.025,29}\approx 2.045$ (a t-eloszlás táblázatából) 4. Konfidenciaintervallum számítása: $$\text{CI}=75\pm 2.045\cdot \frac{10}{\sqrt{30}}\approx 75\pm 3.74$$ Az intervallum: $$\text{CI}\approx [71.26,78.74]$$

4. Értelmezés Ez azt jelenti, hogy a kutatók 95% megbízhatósággal állíthatják, hogy a diákok átlagos teszt eredménye a 71.26 és 78.74 közötti tartományban van.

Összefoglalva A konfidencia határok fontos eszközként szolgálnak a populációs paraméterek becslésére, lehetővé téve a kutatók számára, hogy értékeljék, mennyire megbízhatóak a minta alapján végzett becslések. Sablon:Hunl