Komplex szám trigonometrikus alakja

1. Sablon:Humatek A $z=a+bi$ komplex szám felírható $z=r\cdot (\cos \phi +i\cdot \sin \phi )$ alakban, ahol r nemnegatív szám z modulusa, a φ radiánban megadott argumentum. Ekkor persze

   $a=r\cos \phi$ és

   $b=r\sin \phi$.

A fordított reláció a sugarat ugyan igen, de az árkuszt nem egyértelműen fejezi ki:

$r=\sqrt{a^2+b^2}$

Tetszőleges $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$ és $w=s(\cos \psi +i\sin \psi )$ nem 0 komplex számokra

• $\bar{z}=r(\cos (-\phi )+i\sin (-\phi ))$
• $zw=rs(\cos (\phi +\psi )+i\sin (\phi +\psi ))$
• $\frac{z}{w}=\frac{r}{s}(\cos (\phi -\psi )+i\sin (\phi -\psi ))$
• $z^n=r^n(\cos (n\phi )+i\sin (n\phi ))$ minden $n\in \mathbb{Z}$-re
• Legyen $z=r(\cos \phi +i\sin \phi ),n\in \mathbb{N}.$ Ekkor $\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}(\cos \frac{\phi +2k\pi }{n}+i\sin \frac{\phi +2k\pi }{n}),k=0,1,\dots ,n-1$
• Sablon:En: Sablon:T, Sablon:T