K-adik centrális momentum

1. Sablon:Label A $k$-adik centrális momentum egy statisztikai mutató, amely az eloszlás "formáját" jellemzi. A centrális momentum a középpont (általában a várható érték) körüli eloszlást méri, és hasznos az eloszlás szimmetriájának és szórásának jellemzésében.

Definíció

A $k$-adik centrális momentum a következő képlettel határozható meg:

$${\mu }_k=E[(X-\mu {)}^k]$$

ahol: - $E$ a várható értéket jelenti, - $X$ az eloszlás általános változója, - $\mu =E[X]$ a várható érték (a minta átlagértéke), - $k$ a momentum sorrendi számát jelzi (azaz $k=1,2,3,\dots$).

Példák

1. Első centrális momentum ($k=1$): - Az első centrális momentum, ${\mu }_1$, mindig 0, mert: $${\mu }_1=E[X-\mu ]=E[X]-\mu =\mu -\mu =0$$

2. Második centrális momentum ($k=2$): - A második centrális momentum, ${\mu }_2$, a variancia: $${\mu }_2=E[(X-\mu {)}^2]=\text{Var}(X)$$

3. Harmadik centrális momentum ($k=3$): - A harmadik centrális momentum, ${\mu }_3$, a szimmetria mérésére szolgál: $${\mu }_3=E[(X-\mu {)}^3]$$ - Ha ${\mu }_3>0$, az eloszlás jobbra torzult; ha ${\mu }_3<0$, akkor balra torzult.

4. Negyedik centrális momentum ($k=4$): - A negyedik centrális momentum, ${\mu }_4$, a kurtózis mérésére szolgál: $${\mu }_4=E[(X-\mu {)}^4]$$

Összegzés

A $k$-adik centrális momentum fontos szerepet játszik az eloszlások jellemzésében, mivel lehetővé teszi a különböző statisztikai tulajdonságok, például a szórás, a szimmetria és a kurtózis megértését. A centrális momentumok használata elengedhetetlen a statisztikai elemzések és modellezések során, mivel segít a valószínűségi eloszlások mélyebb megértésében. Sablon:Hunl