Különbségek átlaga

1. Sablon:Label A különbségek átlaga a statisztikában egy fontos mutató, amely megmutatja, hogy az egyes megfigyelések mennyire térnek el az átlagtól. A különbségek átlaga a megfigyelések és az átlag közötti eltérések átlaga, és általában az alábbi lépéseken keresztül számítják ki.

Definíció:

Legyen egy $n$ elemű adathalmaz $x_1,x_2,\dots ,x_n$. Az adathalmaz átlaga ($\overline{x}$) a következőképpen számítható:

$$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

A különbségek átlagának ($D$) kiszámítása a következő lépésekből áll:

$$D=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x})$$

Különbségek átlagának lépései:

1. Átlag kiszámítása: Számoljuk ki az adathalmaz átlagát ($\overline{x}$). 2. Különbségek számítása: Határozzuk meg minden egyes adat és az átlag közötti különbséget ($x_i-\overline{x}$). 3. Különbségek átlaga: Számoljuk ki a különbségek átlagát.

Fontos megjegyzés:

A különbségek átlaga általában 0-t ad, mert a pozitív és negatív eltérések kiegyenlítik egymást. Ezért a különbségek átlagának meghatározása a következő kifejezésre szűkül:

$$D=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x})=\frac{1}{n}(\sum _{i=1}^n{x}_i-n\cdot \overline{x})=\frac{1}{n}(n\cdot \overline{x}-n\cdot \overline{x})=0$$

Példa:

Tegyük fel, hogy az alábbi adathalmazon dolgozunk:

$x=\{4,7,8,5\}$

1. Átlag: $$\overline{x}=\frac{4+7+8+5}{4}=\frac{24}{4}=6$$

2. Különbségek:

• $x_1-\overline{x}=4-6=-2$
• $x_2-\overline{x}=7-6=1$
• $x_3-\overline{x}=8-6=2$
• $x_4-\overline{x}=5-6=-1$

3. Különbségek átlaga: $$D=\frac{1}{4}((-2)+1+2+(-1))=\frac{1}{4}\cdot 0=0$$

Összegzés

A különbségek átlaga általában 0-t ad, hiszen a megfigyelések és az átlag közötti eltérések összegzése során a pozitív és negatív eltérések kiegyenlítik egymást. Ebből kifolyólag a különbségek átlaga nem használható önálló mutatóként az adathalmazon belüli variabilitás mérésére; helyette a variancia és a standard deviáció, amelyek a négyzetre emelt különbségeket mérik, adnak hasznosabb információt az adatok szórásáról. Sablon:Hunl