Jacobi-mátrix

1. Sablon:Humatek A Jacobi-mátrix egy vektorértékű függvény elsőrendű parciális deriváltjait tartalmazó mátrix. Legyen $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ az n dimenziós euklideszi térből az m dimenziós euklideszi térbe képező függvény. Ekkor a vektorértékű függvény egyes komponensei:

$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)=(f_1(x_1,x_2,\dots ,x_n),f_2(x_1,x_2,\dots ,x_n),\dots ,f_m(x_1,x_2,\dots ,x_n)).$

Ezen m darab n-változós függvény parciális deriváltjaiból egy m×n-es mátrixot képezhetünk:

$J=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{array}\right].$

Ezt hívjuk a Jacobi-mátrixnak. A Jacobi-determináns a Jacobi-mátrix determinánsa.

A Jacobi-mátrix az egyváltozós skalárfüggvények deriváltjának fogalmát terjeszti ki vektormezőkre, ahogy a gradiens a skalármezőkre teszi ugyanezt. Ha lineáris transzformációként fogjuk fel, akkor J adja meg az f függvény legjobb lineáris közelítését egy adott ${𝐱}_{\mathrm{𝟎}}$ pont körül, abban az értelemben hogy a Taylor-sorhoz hasonlóan elsőrendben:

$f(𝐱)\approx f({𝐱}_{\mathrm{𝟎}})+J({𝐱}_{\mathrm{𝟎}})(𝐱-{𝐱}_{\mathrm{𝟎}})$

Úgy is fogalmazhatunk, hogy a Jacobi-mátrix megadja, hogy lokálisan hogyan viselkedik az f függvény.

• Sablon:En: Sablon:T