Homogenitásvizsgálat

1. Sablon:Label A homogenitásvizsgálat statisztikai eljárás, amelynek célja annak meghatározása, hogy két vagy több csoport (vagy minta) jellemzői (pl. arányai vagy eloszlásai) homogének-e, azaz hogy az adatok között lényeges eltérés van-e. Ezt a vizsgálatot gyakran használják a csoportok közötti különbségek kiértékelésére, például orvosi kutatásokban, piackutatásban vagy szociológiai felmérésekben.

1. Nullhipotézis és alternatív hipotézis - Nullhipotézis ($H_0$): A csoportok homogének, azaz az eloszlásuk vagy arányaik azonosak. - Alternatív hipotézis ($H_A$): A csoportok nem homogének, azaz az eloszlásuk vagy arányaik eltérnek egymástól.

2. Khi-négyzet homogenitásvizsgálat

A leggyakrabban alkalmazott módszer a khi-négyzet homogenitásvizsgálat. Ez a módszer az eltérések mértékét méri a megfigyelt gyakoriságok és a várt gyakoriságok között.

A próba lépései:

1. Adatgyűjtés: - Két vagy több csoportot kell kiválasztani, és minden csoportban meg kell határozni a megfigyelt gyakoriságokat.

2. Khi-négyzet statisztika kiszámítása: A khi-négyzet statisztika a következőképpen számítható: $${\chi }^2=\sum _{i=1}^k\frac{(O_i-E_i{)}^2}{E_i}$$ ahol: - $O_i$: a megfigyelt gyakoriságok - $E_i$: a várt gyakoriságok - $k$: a csoportok száma

3. Szabadságfok meghatározása: A szabadságfok számítása a következő: $$\text{df}=(r-1)\times (c-1)$$ ahol $r$ a sorok (csoportok) száma és $c$ az oszlopok (kategóriák) száma.

4. Kritikus érték meghatározása: A számított khi-négyzet értéket összehasonlítjuk a khi-négyzet eloszlás kritikus értékével a megfelelő szabadságfok és a választott szignifikanciaszint (pl. 0,05) alapján.

5. Döntés: - Ha a számított khi-négyzet statisztika nagyobb, mint a kritikus érték, elutasítjuk a nullhipotézist, azaz a csoportok nem homogének. - Ha a számított érték kisebb, mint a kritikus érték, akkor nem utasítjuk el a nullhipotézist, tehát a csoportok homogének.

3. Példa:

Tegyük fel, hogy három különböző gyógyszer hatását szeretnénk összehasonlítani a betegek gyógyulási arányában. A következő adataink vannak:

Gyógyszer	Gyógyultak	Nem gyógyultak
A	30	10
B	20	20
C	25	15

1. Adatok összesítése:

- Megfigyelt gyakoriságok ($O$): - A gyógyultak (A): 30 - A nem gyógyultak (A): 10 - B gyógyultak (B): 20 - B nem gyógyultak (B): 20 - C gyógyultak (C): 25 - C nem gyógyultak (C): 15

- Összes gyógyult: $30+20+25=75$ - Összes nem gyógyult: $10+20+15=45$ - Összesen: $120$

2. Várt gyakoriságok ($E$): A várt gyakoriságok kiszámításához használhatjuk az arányokat. A gyógyultak aránya $\frac{75}{120}=0,625$, míg a nem gyógyultaké $\frac{45}{120}=0,375$.

- Várt gyógyultak (A): $0,625\times 40=25$ - Várt nem gyógyultak (A): $0,375\times 40=15$ - Várt gyógyultak (B): $0,625\times 40=25$ - Várt nem gyógyultak (B): $0,375\times 40=15$ - Várt gyógyultak (C): $0,625\times 40=25$ - Várt nem gyógyultak (C): $0,375\times 40=15$

3. Khi-négyzet statisztika kiszámítása: $${\chi }^2=\frac{(30-25{)}^2}{25}+\frac{(10-15{)}^2}{15}+\frac{(20-25{)}^2}{25}+\frac{(20-15{)}^2}{15}+\frac{(25-25{)}^2}{25}+\frac{(15-15{)}^2}{15}$$ $${\chi }^2=\frac{25}{25}+\frac{25}{15}+\frac{25}{25}+\frac{25}{15}+0+0$$

4. Szabadságfok és kritikus érték: - Szabadságfok: $\text{df}=(3-1)\times (2-1)=2$ - Kritikus érték ${\chi }^2$ eloszlás táblázatból, 2 df-vel és 0,05 szignifikanciaszinten körülbelül 5,991.

5. Döntés: - Ha a számított ${\chi }^2$ érték meghaladja 5,991-et, akkor elutasítjuk a nullhipotézist, azaz a gyógyszerek hatása eltér egymástól. Ha nem, akkor a gyógyszerek hatása homogén.

Összegzés: A homogenitásvizsgálat fontos statisztikai eszköz a csoportok közötti különbségek kiértékelésére. A khi-négyzet próba gyakran használt módszer, amely lehetővé teszi a megfigyelt és várt gyakoriságok közötti eltérések elemzését. Sablon:Hunl