Hipergeometrikus eloszlás

Sablon:Label A hipergeometrikus eloszlás egy diszkrét valószínűségi eloszlás, amely annak a valószínűségét írja le, hogy egy véletlen mintavétel során bizonyos számú "sikeres" elemet választunk ki egy véges populációból, visszapótlás nélkül.

Hipergeometrikus Eloszlás Jellemzői

A hipergeometrikus eloszlást akkor használjuk, amikor:

1. Populáció (N): Egy véges populációból mintavételezünk.

2. Sikeres elemek (K): A populációban pontosan $K$ darab "sikeres" elem található (például piros golyók).

3. Mintanagyság (n): Véletlenszerűen $n$ elemet választunk ki a populációból.

4. Kiválasztott sikeres elemek száma (k): A kérdés, hogy pontosan hány "sikeres" elemet választunk ki a mintából (például piros golyók száma a kiválasztottak között).

Valószínűségi Tömegfüggvény (PMF)

A hipergeometrikus eloszlás valószínűségi tömegfüggvénye annak valószínűségét adja meg, hogy egy $n$ elemű mintában pontosan $k$ sikeres elemet találunk:

$P (X = k) = \frac{(\binom{K}{k}) (\binom{N - K}{n - k})}{(\binom{N}{n})}$

ahol:

$(\binom{K}{k})$ a kombinatorikai kifejezés (K alatt a k) az $K$ sikeres elem közül kiválasztott $k$ sikeres elem számát jelenti,
$(\binom{N - K}{n - k})$ az $N - K$ kudarc közül kiválasztott $n - k$ kudarc számát adja meg,
$(\binom{N}{n})$ az $N$ elemű populációból kiválasztott $n$ elem összes lehetséges kombinációját jelenti.

Példa

Tegyük fel, hogy van egy dobozban 10 golyó, ahol 4 piros és 6 kék golyó található. Ha 3 golyót véletlenszerűen választunk ki visszapótlás nélkül, mi annak a valószínűsége, hogy pontosan 2 piros golyót választunk ki?

1. $N = 10$ (a golyók összes száma),

2. $K = 4$ (a piros golyók száma),

3. $n = 3$ (a választott golyók száma),

4. $k = 2$ (két piros golyót akarunk választani).

A valószínűséget a hipergeometrikus képlet segítségével számíthatjuk ki:

$P (X = 2) = \frac{(\binom{4}{2}) (\binom{6}{1})}{(\binom{10}{3})} = \frac{\frac{4!}{2! (4 - 2)!} \times \frac{6!}{1! (6 - 1)!}}{\frac{10!}{3! (10 - 3)!}} = \frac{6 \times 6}{120} = \frac{36}{120} = 0.3$

Tehát annak a valószínűsége, hogy pontosan 2 piros golyót választunk, 0.3 (30

Várható Érték és Szórás

- Várható érték ( $E (X)$ ): $E (X) = n \cdot \frac{K}{N}$ Ez azt jelenti, hogy a várható sikeres elemek száma egyenlő a mintanagyság ( $n$ ) és a sikeres elemek arányának ( $\frac{K}{N}$ ) szorzatával.

- Szórás ( $σ^{2}$ ): $σ^{2} = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \frac{N - K}{N} \cdot \frac{N - n}{N - 1}$

Alkalmazások

A hipergeometrikus eloszlást akkor alkalmazzák, ha véges populációból választunk ki elemeket visszapótlás nélkül, például: - Minőségellenőrzés: Egy adott hibás termékeket tartalmazó készletből mintavételezve megállapítani, hány hibás terméket választunk ki. - Kártyajátékok: Kártyapakliból való kártyaválasztásoknál egy adott szín vagy figura kiválasztásának esélyeit lehet modellezni.

Sablon:Hunl

Hipergeometrikus eloszlás

Navigációs menü

Keresés