Hesse-determináns

1. Sablon:Humatek A Hesse-determináns a többváltozós függvények második deriváltjainak mátrixa, amely segít a lokális minimumok, maximumok és nyeregpontok meghatározásában. A Hesse mátrix $H$ a következőképpen néz ki, ha $f(x,y)$ egy kétdimenziós függvény:

$$H=\left(\begin{array}{cc}{f}_{xx}& f_{xy}\\ f_{yx}& f_{yy}\end{array}\right)$$

Ahol: - $f_{xx}$ a függvény második parciális deriváltja $x$ szerint, - $f_{yy}$ a függvény második parciális deriváltja $y$ szerint, - $f_{xy}$ és $f_{yx}$ a kereszttartalmú parciális deriváltak.

Hesse-determináns számítása

A Hesse-determináns $D$ a következőképpen van kiszámítva:

$$D=f_{xx}{f}_{yy}-(f_{xy}{)}^2$$

Értelmezés

- Ha $D>0$: - Ha $f_{xx}>0$, akkor a kritikus pont lokális minimum. - Ha $f_{xx}<0$, akkor lokális maximum.

- Ha $D<0$: A kritikus pont nyeregpont.

- Ha $D=0$: A teszt nem ad információt, ilyenkor további vizsgálatok szükségesek.

Példa

Ha van egy kétdimenziós függvény, mint például $f(x,y)=x^2+y^2$:

1. Számítsuk ki a parciális deriváltakat: - $f_{xx}=2$ - $f_{yy}=2$ - $f_{xy}=0$

2. Számítsuk ki a Hesse-determinánst: $$D=(2)(2)-(0{)}^2=4$$ Mivel $D>0$ és $f_{xx}>0$, a kritikus pont lokális minimum.

Sablon:Hunl