Geometriai eloszlás

1. Sablon:Label A geometriai eloszlás egy diszkrét valószínűségi eloszlás független Bernoulli-kísérletek esetére. Két változata létezik:

A változat

A siker eléréséhez szükséges Bernoulli-kísérletek $X$ számának a valószínűségi eloszlása. Ez az eloszlás a $\{1,2,3,\dots \}$ halmazon értelmezett.

B változat

A siker előtti sikertelen kísérletek $Y$ számának az eloszlása. Ez az eloszlás a $\{0,1,2,\dots \}$ halmazon értelmezett.

A két változat összefüggése $X=Y+1$.

A geometriai eloszlás felhasználható:

• egy megadott esemény előtti várakozási idők elemzésénél például a készülékek és alkatrészek élettartamának meghatározása = a várakozási idő az első meghibásodásig
• a gyakori események számának meghatározása két egymástól független ritka esemény között; alkalmazási területek például a készülékek megbízhatóságának vizsgálata, biztosítási matematika, adatátvitel hibaarányának meghatározása

Meghatározás

Egy kísérlet két lehetséges kimenetele közül egy adott esemény bekövetkezésének valószínűségét jelöljük $p$ -vel. Ekkor az ellentett esemény valószínűsége $q=1-p$.

Akkor beszélünk geometriai eloszlásról, ha

A változat

annak a valószínűsége, hogy az első sikerhez pontosan $n$ kísérletre van szükség,

$\mathrm{P}(X=n)=p(1-p{)}^{n-1}=p{q}^{n-1}(n=1,2,\dots )$

B változat

annak a valószínűsége, hogy az első siker előtt pontosan $n$ sikertelen kísérlet legyen

$\mathrm{P}(Y=n)=p(1-p{)}^n=p{q}^n(n=0,1,2,\dots )$

A geometriai eloszlást jellemző számok

várható értéke:

A változat:

$\mathrm{E}(X)=\frac{1}{p}$

B változat:

$\mathrm{E}(Y)=\mathrm{E}(X)-1=\frac{1-p}{p}$.

Szórása:

Mindkét változat szórása:

$𝐃(X)=\sqrt{\frac{1-p}{p^2}}$.

Ferdesége:

$\mathrm{v}(X)=\mathrm{v}(Y)=\frac{2-p}{\sqrt{1-p}}$.

Lapultsága:

${\beta }_2=\frac{p^2-6p+6}{1-p}$.