Elemi bázistranszformáció

1. Sablon:Humatek A bázistranszformációnak azt a legegyszerűbb esetét, amelynél az adott bázisnak egy lépésben csak egy bázisvektorát cseréljük ki, elemi bázistranszformációnak nevezzük.

Legyen $B=\{b_1,b_2,\dots ,b_n\}\subset {ℝ}^n$ bázis, $c\in {ℝ}^n,c\ne o.$

Ekkor létezik olyan i index, hogy a $B^{\prime }=(B\setminus \{b_i\})\cup \{c\}$ is bázis ${ℝ}^n$-ben, és bármely ${ℝ}^n$-beli vektornak a B bázisra vonatkozó koordinátáiból (ismerve a c vektor B-re vonatkozó koordinátáit is) egyszerűen számolhatjuk a B'-re vonatkozó koordinátáit.

Bizonyítás

Legyen $x\in {ℝ}^n.$

Az x és c előállítása a B bázison legyen a következő:

1. $x={\lambda }_1{b}_1+{\lambda }_2{b}_2+\dots +{\lambda }_n{b}_n$
2. $c={\gamma }_1{b}_1+{\gamma }_2{b}_2+\dots +{\gamma }_n{b}_n$

Mivel $c\ne o,$ így létezik olyan i index, hogy ${\gamma }_i\ne 0.$

Ekkor a $B^{\prime }=(B\setminus \{b_i\})\cup \{c\}$ vektorhalmaz lineárisan független, ellenkező esetben ugyanis c lineárisan függene $B\setminus \{b_1\}$ elemeitől, ami a bázison történő egyértelmű előállíthatóság miatt ellentmondana (2)-nek, ahol feltettük, hogy ${\gamma }_1\ne 0.$

Továbbá B' elemszáma megegyezik B elemszámával, így B' bázis.

Ezután keressük az x vektor B'-re vonatkozó koordinátáit.

(2)-ből fejezzük ki $b_i$ -t és a kapott kifejezést helyettesítsük be (1)-be.

Ekkor kapjuk:

$\begin{array}{cc}x& ={\lambda }_1{b}_1+\dots +{\lambda }_{i-1}{b}_{i-1}+\lambda (\frac{1}{{\gamma }_i}c-\frac{{\gamma }_1}{{\gamma }_1}{b}_1-\dots \frac{{\gamma }_{i-1}}{{\gamma }_i}{b}_{i-1}-\frac{{\gamma }_{i+1}}{{\gamma }_i}{b}_{i+1}-\dots -\frac{{\gamma }_n}{{\gamma }_i}{b}_n)+{\lambda }_{i+1}{b}_{i+1}+\dots +{\lambda }_n{b}_n\\ & =({\lambda }_1-\frac{{\lambda }_i}{{\gamma }_i}{\gamma }_1)b_1+\dots +({\lambda }_{i-1}-\frac{{\lambda }_i}{{\gamma }_i}{\gamma }_{i-1})b_{i-1}+\frac{{\lambda }_i}{{\gamma }_i}c+({\lambda }_{i+1}-\frac{{\lambda }_i}{{\gamma }_i}{\gamma }_{i+1})b_{i+1}+\dots +({\lambda }_n-\frac{{\lambda }_i}{{\gamma }_i}{\gamma }_n)b_n\end{array}$

Ennek alapján a transzformációs szabály könnyen formulázható.

A $b_i\leftrightarrow c$ bázisvektorcsere esetén az új koordináták $(\widehat{{\lambda }_j})$ a régi koordinátákból $({\lambda }_j)$ a következő módon nyerhetők:

$\widehat{{\lambda }_j}={\lambda }_j-\frac{{\lambda }_i}{{\gamma }_i}\cdot {\gamma }_j$

$\widehat{{\lambda }_i}=\frac{{\lambda }_i}{{\gamma }_i}j=1,\dots ,n;j\ne i$

Megjegyzések

A könnyebb megjegyezhetőség kedvéért megadjuk az elemi bázistranszformációval számolható koordináták táblázatos elrendezését is.

Ebben feltüntetjük a bázisból távozó $(b_i),$ a bázisba belépő (c) és egy tetszőleges vektor (x) koordinátáit a két bázisra vonatkozóan. $(A\frac{{\lambda }_i}{{\gamma }_i}$ hányadost $\delta$-val jelöljük.)

$\left|\begin{array}{cccc}\text{bázis}& b_i& c& x\\ b_1& 0& {\gamma }_1& {\lambda }_1\\ b_2& 0& {\gamma }_2& {\lambda }_2\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ b_i& 1& ({\gamma }_i)& {\lambda }_i\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ b_n& 0& {\gamma }_n& {\lambda }_n\end{array}\right|\left|\begin{array}{cccc}\text{bázis}& b_i& c& x\\ b_1& -\frac{{\gamma }_1}{{\gamma }_1}& 0& {\lambda }_1-\delta \cdot {\gamma }_1\\ b_2& -\frac{{\gamma }_2}{{\gamma }_i}& 0& {\lambda }_2-\delta \cdot {\gamma }_2\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ c& \frac{1}{{\gamma }_i}& 1& \delta \\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ b_n& -\frac{{\gamma }_n}{{\gamma }_i}& 0& {\lambda }_n-\delta \cdot {\gamma }_n\end{array}\right|$

A ${\gamma }_i\ne 0$ számot generáló elemnek szokás nevezni.

Legyen $B_1$ és $B_2$ két bázis az ${ℝ}^n$ vektortérben.

Ha egy $x\in {ℝ}^n$ vektor koordinátáit ismerjük a $B_1$ bázisra vonatkozóan, akkor x $B_2$ -re vonatkozó koordinátáit elemi bázistranszformációk sorozatával határozhatjuk meg, lépésről lépésre kicserélve a két bázis vektorait. (Természetesen induláskor ismernünk kell a $B_2$ bázis vektorainak $B_1$ -re vonatkozó koordinátáit is.)

• Sablon:En: Sablon:T