Duhamel-formula

1. Sablon:Humatek A Duhamel-formula a matematikai analízisben, különösen a differenciálegyenletek megoldásának területén alkalmazott eszköz. Ez a formula lehetővé teszi lineáris időinvariáns rendszerek impulzusválaszának (vagy Green-függvényének) meghatározását.

Duhamel-formula Definíciója Legyen $L$ egy lineáris differenciálegyenlet, amelyet a következő formában írhatunk fel:

$$L[y(t)]=f(t)$$

ahol $y(t)$ a keresett függvény, és $f(t)$ a bemeneti (kényszer) függvény. A Duhamel-formula szerint, ha $h(t)$ a rendszer impulzusválasza, akkor a megoldás $y(t)$ a következőképpen határozható meg:

$$y(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}h(t-\tau )f(\tau )d\tau$$

Magyarázat - $h(t)$: Az impulzusválasz a rendszer jellemzője, amely megmutatja, hogyan reagál a rendszer egy impulzus bemenetre. - $f(t)$: A bemeneti jel, amely a rendszert terheli. - $\tau$: A belső integrálváltozó, amely a bemeneti jel hatását időben eltolja.

Alkalmazások 1. Különböző Fajtájú Rendszerek: A Duhamel-formula alkalmazható lineáris időinvariáns rendszerek, például mechanikai és elektromos rendszerek elemzésére. 2. Differenciálegyenletek: Használható a lineáris differenciálegyenletek megoldására, különösen a nem homogén esetekben. 3. Jel- és Rendszerelmélet: Az impulzusválaszok használata a rendszerreakciók modellezésében fontos szerepet játszik.

Összegzés A Duhamel-formula egy hasznos matematikai eszköz a lineáris differenciálegyenletek megoldására, amely lehetővé teszi a rendszerek impulzusválaszának és a bemeneti jelek közötti kapcsolat egyszerű és hatékony meghatározását. Sablon:Hunl