De Moivre-Laplace-tétel

1. Sablon:Humatek A de Moivre-Laplace tétel a valószínűségszámítás egyik alapvető eredménye, amely kapcsolatot teremt a binomiális eloszlás és a normális eloszlás között. A tétel az egyik első bizonyíték arra, hogy a központi határeloszlás tétel hogyan működik binomiális eloszlások esetében.

Mi a de Moivre-Laplace tétel?

A binomiális eloszlás $B(n,p)$, ahol $n$ a kísérletek száma, $p$ pedig az egyedi kísérlet sikerének valószínűsége. Ez az eloszlás azt írja le, hogy $n$ ismétlés során hány sikeres esemény fordul elő. Ha $n$ elég nagy, a binomiális eloszlás jól közelíthető egy normális eloszlással.

Tétel kimondása

Ha $X\sim B(n,p)$, akkor a következő igaz: $P(a\le X\le b)\approx \mathrm{\Phi }\left(\frac{b+0.5-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)-\mathrm{\Phi }\left(\frac{a-0.5-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right),$ ahol:

• $\mathrm{\Phi }(z)$: a standard normális eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye,
• $np$: a binomiális eloszlás várható értéke (átlaga),
• $\sqrt{np(1-p)}$: a binomiális eloszlás szórása,
• $a$ és $b$: a kívánt tartomány határai.

A $\pm 0.5$ korrekciót folytonossági korrekciónak nevezzük, ami azért szükséges, mert a binomiális eloszlás diszkrét, míg a normális eloszlás folytonos.

Tétel jelentősége

1. Kapcsolat a normális és binomiális eloszlás között: A tétel megmutatja, hogy ha $n$ elég nagy, a binomiális eloszlás megközelíthető normális eloszlással. Ez jelentősen megkönnyíti a számításokat, különösen nagy $n$ értékek esetén.

1. Számítási egyszerűség: A binomiális eloszlás összetett, ha nagy $n$ és $k$ értékekkel dolgozunk, mert $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ értékei gyorsan nőnek. A normális eloszlás közelítésével a táblázatok és egyszerű képletek segítségével számíthatunk.

1. Alkalmazhatóság: A tétel használható bármely $B(n,p)$ eloszlás esetén, feltéve, hogy $n$ elég nagy, és $p$ nem túl közel 0-hoz vagy 1-hez.

Matematikai háttér

Binomiális eloszlás

A binomiális eloszlás valószínűségi tömegváltozója: $P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k},$ ahol $k=0,1,\dots ,n$, és:

• $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}$: a kombinációs szám, ami az $n$ elem közül $k$-féleképpen történő kiválasztás lehetőségét adja meg,
• $p$: az egyes kísérletek sikerének valószínűsége,
• $1-p$: a kudarc valószínűsége.

Normális eloszlás

A normális eloszlás sűrűségfüggvénye: $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},$ ahol:

• $\mu$: az eloszlás várható értéke,
• $\sigma$: az eloszlás szórása.

Kapcsolat a kettő között

A de Moivre-Laplace tétel azt állítja, hogy ha $n\to \mathrm{\infty }$, akkor a binomiális eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye közelíthető a normális eloszlás kumulatív eloszlásfüggvényével.

Feltételek a tétel alkalmazásához

1. Nagyszámúság ($n$ nagy): Általánosan elfogadott, hogy $n\ge 30$ esetén a normális közelítés érvényes, de minél nagyobb az $n$, annál jobb a közelítés.

1. $p$ nem túl szélsőséges: $p$ értéke ne legyen túl közel 0-hoz vagy 1-hez. Ha $p\approx 0$ vagy $p\approx 1$, akkor a binomiális eloszlás erősen aszimmetrikus, és a normális közelítés pontatlan lesz.

1. Folytonossági korrekció: A diszkrét $X$ helyett a folytonos $Z$-t használjuk, a $\pm 0.5$ korrekcióval.

Példa

Feladat

Egy gyárban 1000 termék közül 60%-nak várhatóan jó a minősége. Mi a valószínűsége, hogy a jó termékek száma 590 és 620 között van?

Lépések

1. Binomiális paraméterek:
   • $n=1000$, $p=0.6$.
2. Átlag és szórás:
   • $\mu =np=1000\cdot 0.6=600$,
   • $\sigma =\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{1000\cdot 0.6\cdot 0.4}=\sqrt{240}\approx 15.49$.
3. Standardizálás és folytonossági korrekció:
   • Az alsó határ: $Z_{590}=\frac{590-0.5-600}{15.49}=\frac{-10.5}{15.49}\approx -0.68$,
   • A felső határ: $Z_{620}=\frac{620+0.5-600}{15.49}=\frac{20.5}{15.49}\approx 1.32$.
4. Valószínűség meghatározása:
   • $P(590\le X\le 620)=\mathrm{\Phi }(Z_{620})-\mathrm{\Phi }(Z_{590})$,
   • $\mathrm{\Phi }(1.32)\approx 0.9066$,
   • $\mathrm{\Phi }(-0.68)\approx 0.2483$,
   • $P(590\le X\le 620)=0.9066-0.2483=0.6583$.

Eredmény

A jó termékek száma 590 és 620 között lesz kb. 65.83%-os valószínűséggel.

Elméleti háttér

A tétel azon az elven alapul, hogy a binomiális eloszlás növekvő $n$-nel egyre jobban hasonlít a normális eloszlásra, mivel az összegek várható értéke $np$, szórása pedig $\sqrt{np(1-p)}$. Ez a központi határeloszlás tétel egyik korai speciális esete.

• Sablon:En: Sablon:T