Ceva-tétel

1. Sablon:Humatek Az $ABC$ háromszögben $AD$, $BE$ és $CF$ egyenesek akkor és csak akkor metszik egymást egy pontban ($O$), ha

$\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1$.

---

Ceva-tétel

Definíció

A Ceva-tétel az euklideszi geometriában a háromszögek speciális pontjait és egyeneseit összekapcsoló eredmény. Ez a tétel egy háromszög oldalait metsző három egyenes közös pontjának feltételét adja meg.

> Tétel: Legyen adott egy $\mathrm{△}ABC$ háromszög. Az $A,B,C$ csúcsokon átmenő három $AD,BE,CF$ egyenes akkor és csak akkor metszik egymást egy közös pontban, ha: $$\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1.$$

Tétel Feltételei

1. Adott háromszög: $\mathrm{△}ABC$, ahol $A,B,C$ a háromszög csúcsai.
2. Metszéspontok az oldalakkal:

  - $AD$ metszéspontja $BC$-vel: $D$,
  - $BE$ metszéspontja $AC$-val: $E$,
  - $CF$ metszéspontja $AB$-vel: $F$.

1. Ceva-egyenesek:

  - Az $AD,BE,CF$ egyenesek egy közös pontban metszik egymást, ha a fenti arány igaz.

Bizonyítás

1. Tétel Feltételezése

Tegyük fel, hogy az $AD,BE,CF$ egyenesek egy közös pontban, $P$-ben metszik egymást.

2. Paralelepipedon módszer

A háromszög területi arányait használva: $$\frac{\text{terület}(\mathrm{△}APB)}{\text{terület}(\mathrm{△}CPB)}=\frac{AF}{FB},$$ $$\frac{\text{terület}(\mathrm{△}BPC)}{\text{terület}(\mathrm{△}APC)}=\frac{BD}{DC},$$ $$\frac{\text{terület}(\mathrm{△}CPA)}{\text{terület}(\mathrm{△}BPA)}=\frac{CE}{EA}.$$

3. Területi Arányok Szorzata

A három arány szorzata egyenlő 1-gyel: $$\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1,$$ mivel a területek egymást kölcsönösen kioltják.

4. Következtetés

Ez bizonyítja, hogy az $AD,BE,CF$ egyenesek akkor és csak akkor metszik egymást egy közös pontban, ha a fenti arány igaz.

Ceva-tétel Fordítottja

A tétel fordítottja is igaz: - Ha $\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1$, akkor az $AD,BE,CF$ egyenesek egy közös pontban metszik egymást.

Példák

Példa 1: Centroid (súlypont)

- A háromszög súlyvonalai ($AD,BE,CF$) mindig egy közös pontban, a háromszög súlypontjában metszik egymást. - Súlyvonalak esetén:

 $\frac{AF}{FB}=\frac{BD}{DC}=\frac{CE}{EA}=2,$
 így:
 $\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1.$

Példa 2: Nagyobb háromszög általános eset

- Ha $\frac{AF}{FB}=3$, $\frac{BD}{DC}=2$, és $\frac{CE}{EA}=\frac{1}{6}$, akkor:

 $\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=3\cdot 2\cdot \frac{1}{6}=1.$
 Így az $AD,BE,CF$ egyenesek egy pontban metszik egymást.

Fontos Következmények

1. Súlypont, magasság, szögfelező:

  - A tétel speciális esetei a háromszög nevezetes pontjaira alkalmazhatók, például a súlyvonalakra vagy szögfelezőkre.

1. Háromszög geometriai szerkezete:

  - A Ceva-tétel segít megérteni, hogy mikor és miért metszik egymást a háromszög különböző egyenesei.

1. Geometriai számítások egyszerűsítése:

  - Az arányok alkalmazásával a metszéspontok meghatározása egyszerűbbé válik.

Összegzés

A Ceva-tétel az euklideszi geometria egyik kulcstétele, amely a háromszögek egyenesinek közös metszéspontját írja le. A tétel alapvető eszköz a geometriai bizonyításokban és a háromszögek tulajdonságainak vizsgálatában. Az arányossági feltétel és annak fordítottja erőteljes módszert kínál a háromszög nevezetes pontjainak és vonalainak tanulmányozására.

• Sablon:En: Sablon:T