Centrális momentum kiszámítása

1. Sablon:Label A centrális momentum (más néven második centrális momentum vagy variancia) egy statisztikai mutató, amely a valószínűségi eloszlások szóródását méri. A centrális momentum a következőképpen van definiálva:

Képlet

A centrális momentum ${\mu }_n$ kiszámításának képlete:

$${\mu }_n=E[(X-\mu {)}^n]$$

ahol:

• $X$ a vizsgált véletlen változó,
• $\mu =E[X]$ a várható érték (mean) vagy középérték,
• $n$ a centrális momentum rendje (például $n=2$ a variancia).

Variancia és Szórás

A leggyakrabban használt centrális momentum a második centrális momentum, amely a variancia:

$$\text{Var}(X)={\mu }_2=E[(X-\mu {)}^2]$$

A variancia megmutatja, hogy a véletlen változó értékei mennyire szóródnak el a középértéktől. A szórás ($\sigma$) pedig a variancia négyzetgyöke:

$$\sigma =\sqrt{\text{Var}(X)}$$

Kiszámítási Példa

Tegyük fel, hogy van egy véletlen változónk $X$, amelynek a lehetséges értékei és a hozzájuk tartozó valószínűségek a következők:

- $X_1=1,P(X_1)=0.2$ - $X_2=2,P(X_2)=0.5$ - $X_3=3,P(X_3)=0.3$

• Várható érték kiszámítása**:

$$\mu =E[X]=1\cdot 0.2+2\cdot 0.5+3\cdot 0.3=0.2+1+0.9=2.1$$

• Variancia kiszámítása**:

$$\text{Var}(X)=E[(X-\mu {)}^2]=(1-2.1{)}^2\cdot 0.2+(2-2.1{)}^2\cdot 0.5+(3-2.1{)}^2\cdot 0.3$$

$$=(-1.1{)}^2\cdot 0.2+(-0.1{)}^2\cdot 0.5+(0.9{)}^2\cdot 0.3$$

$$=1.21\cdot 0.2+0.01\cdot 0.5+0.81\cdot 0.3$$

$$=0.242+0.005+0.243=0.49$$

• Szórás kiszámítása**:

$$\sigma =\sqrt{\text{Var}(X)}=\sqrt{0.49}=0.7$$ Sablon:Hunl