Cayley-Purser-algoritmus

1. Sablon:Label A **Cayley-Purser-algoritmus** egy **nyilvános kulcsú titkosítási algoritmus**, amelyet Michael Purser és Arthur Cayley nevéhez kötnek. Az algoritmust a gyorsabb RSA-alternatívák közé sorolják, bár később sebezhetőségét bizonyították, és ezért ma már nem tekintik biztonságosnak.

—

1. 1. 1. **Alapvető működés**

A Cayley-Purser-algoritmus a csoportelméleti mátrixszorzást használja a titkosításhoz és a nyilvános kulcsok létrehozásához. Az algoritmus alapötlete az, hogy két mátrix szorzatát nehéz visszafejteni (ez hasonló az RSA faktorizációs problémájához).

—

1. 1. 1. **Kulcsgenerálás**

1. **Privát kulcs**: - Válassz két nagy véletlenszerű $n\times n$-es inverz mátrixot ($P$ és $Q$). - Számítsd ki $T$-t az alábbi képlettel: $$T=P\cdot Q^{-1}$$

2. **Nyilvános kulcs**: - Publikáld $T$-t (de tartsd titokban $P$ és $Q$ értékét).

—

1. 1. 1. **Titkosítás**

1. Az üzenetet ($M$) $n\times n$-es mátrix formájában reprezentáljuk. 2. Válassz egy véletlenszerű $R$ mátrixot. 3. Számítsd ki a titkosított üzenetet ($C$) az alábbi módon: $$C=R\cdot T\cdot M\cdot T^{-1}\cdot R^{-1}$$

—

1. 1. 1. **Dekódolás**

A dekódolás során a privát kulcs ($P$ és $Q$) segítségével a következőképpen kapjuk vissza az eredeti üzenetet ($M$):

1. Számítsd ki $P^{-1}\cdot C\cdot Q$. 2. A megfelelő matematikai átalakításokkal visszafejthető $M$.

—

1. 1. 1. **Példa (egyszerűsített verzió)**

1. 1. 1. 1. **Kulcsgenerálás** - $P=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right],Q=\left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right]$ - $T=P\cdot Q^{-1}$

1. 1. 1. 1. **Titkosítás** - Üzenet: $M=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right]$ - Véletlenszerű $R=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]$ - Titkosított üzenet: $C=R\cdot T\cdot M\cdot T^{-1}\cdot R^{-1}$

1. 1. 1. 1. **Dekódolás** - $C$-ből az eredeti $M$-t a privát kulcs ($P$ és $Q$) segítségével visszafejtjük.

—

1. 1. 1. **Előnyök**

1. **Gyorsabb számítás**: - A Cayley-Purser-algoritmus gyorsabb, mint az RSA, különösen nagy kulcsméretek esetén. 2. **Egyszerű megvalósítás**: - Az algoritmus egyszerű mátrixműveletekre épül.

—

1. 1. 1. **Hátrányok**

1. **Biztonsági problémák**: - A Cayley-Purser-algoritmust sikeresen megtámadták, így ma már nem tekintik biztonságosnak. - Az algoritmus nem ellenáll bizonyos **lineáris algebrai támadásoknak**. 2. **Kulcsok kezelése**: - A privát kulcsok kezelése és a mátrixok invertálása nagy méretű mátrixok esetén számításigényes lehet.

—

1. 1. 1. **Összegzés**

Bár a **Cayley-Purser-algoritmus** eredetileg ígéretes alternatívája volt az RSA-nak, sebezhetősége miatt ma már nem használják biztonsági alkalmazásokban. Az algoritmus azonban fontos lépést jelentett a nyilvános kulcsú kriptográfia fejlődésében, és hozzájárult a modern titkosítási módszerek megértéséhez. Sablon:-ford- Sablon:Trans-top

• Sablon:En: Sablon:T+