Cauchy-konvergenciakritérium

1. Sablon:Label

Cauchy-konvergenciakritérium

A **Cauchy-konvergenciakritérium** fontos szerepet játszik a valós számok és a sorozatok elméletében. A kritérium azt mondja ki, hogy egy sorozat pontosan akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat.

A tétel megfogalmazása

Egy $(a_n)$ valós sorozat pontosan akkor konvergens, ha minden $\epsilon >0$-hoz létezik egy $N\in \mathbb{N}$, hogy minden $m,n>N$ esetén: $|a_n-a_m|<\epsilon .$

Ez azt jelenti, hogy a sorozat elemei "egyre közelebb kerülnek egymáshoz", ahogy haladunk előre a sorozatban.

Magyarázat

A Cauchy-kritérium kimondja, hogy egy sorozat konvergenciája nemcsak a határérték létezésétől függ, hanem attól is, hogy a sorozat elemei egymáshoz viszonyítva egyre kisebb távolságokra kerülnek.

• Ha egy sorozat konvergens, akkor szükségszerűen Cauchy-sorozat is. Ez azért van, mert egy konvergens sorozat esetén a határértéktől való távolság korlátos, és a sorozat elemei egymáshoz is egyre közelebb kerülnek.
• A valós számok halmazában (amely teljes tér) minden Cauchy-sorozat konvergens, azaz létezik határértéke. Ez a valós számok **teljességi axiómájának** következménye.

Példa

Vegyük például a sorozatot: $a_n=\frac{1}{n}.$

Ez egy konvergens sorozat, amelynek határértéke 0. Vizsgáljuk, hogy Cauchy-sorozat-e. Legyen $\epsilon >0$. Mivel: $|a_n-a_m|=|\frac{1}{n}-\frac{1}{m}|=\frac{|m-n|}{mn},$ választható olyan $N$, hogy ha $m,n>N$, akkor $|a_n-a_m|<\epsilon$. Ez igazolja, hogy a sorozat Cauchy-sorozat, és így konvergens.

Megjegyzések

• A Cauchy-kritérium hasznos, ha egy sorozat határértéke ismeretlen, és csak a sorozat elemei közötti távolságokkal szeretnénk dolgozni.
• A valós számok halmazán kívül, például racionális számok között, nem minden Cauchy-sorozat konvergens, mert a racionális számok nem teljesek. Ezért van szükség a valós számok bevezetésére.

Alkalmazások

A Cauchy-konvergenciakritérium széles körben alkalmazható:

• A valós számok tulajdonságainak bizonyításában.
• Végtelen sorok konvergenciájának vizsgálatában.
• Funkcionális analízisben és absztrakt terekben, ahol a teljes tér fogalma kulcsfontosságú.