Cauchy-Hadamard-tétel

1. Sablon:Label A Cauchy–Hadamard-tétel a komplex hatványsorok konvergenciasugaráról szól. Jelölje R a $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}$ nem negatív valós számot. Ekkor a $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n$ hatványsor abszolút konvergens az (esetleg elfajult) { |z| < R } körben, minden kicsit kisebb { |z| < r } r < R körben egyenletesen is konvergens, és divergens |z| > R -re.

---

Cauchy–Hadamard-tétel

Definíció

A Cauchy–Hadamard-tétel a hatványsorok konvergenciasugarát adja meg. Ez a komplex analízis egyik alapvető tétele, amely meghatározza, hogy egy hatványsor mely pontokban konvergál.

Tétel Állítása

1. Konvergencia sugáron belül:

  Ha $|z|<R$, akkor a hatványsor abszolút konvergens.

1. Divergencia sugáron kívül:

  Ha $|z|>R$, akkor a hatványsor divergens.

1. Sugáron lévő pontok:

  Ha $|z|=R$, akkor a sor konvergenciája vagy divergenciája függ a konkrét sor tulajdonságaitól.

Konvergenciasugár Meghatározása

Formula a konvergenciasugárhoz

A konvergenciasugár $R$ kifejezhető: $$R=\frac{1}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[n]{|c_n|}},$$ ahol $\mathrm{lim\; sup}$ az $n$-edik gyökök felső határértéke.

Bizonyítás

1. Előkészítés

A hatványsor adott: $$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{z}^n.$$ A sor $|z|$-re történő konvergenciája az $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}|c_n{z}^n|$ abszolút sor konvergenciájára vezethető vissza.

2. Konvergenciasugár feltétele

Vizsgáljuk a $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[n]{|c_n|}$-et: - Tegyük fel, hogy $L=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[n]{|c_n|}$. - A $\sqrt[n]{|c_n|}$ felső határértéke meghatározza, hogy milyen $z$ értékek esetén lesz a sor konvergens.

3. Konvergencia feltétele $|z|<R$-re

Legyen $|z|=r$, ahol $r<R$. Ekkor: $$|c_n{z}^n|=|c_n|r^n.$$ Mivel $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[n]{|c_n|}\cdot r<1$, a $|c_n{z}^n|$ tagok gyorsan csökkennek, és a sor konvergens lesz.

4. Divergencia feltétele $|z|>R$-re

Ha $|z|=r$, ahol $r>R$, akkor: $$|c_n{z}^n|=|c_n|r^n.$$ Mivel $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[n]{|c_n|}\cdot r>1$, a $|c_n{z}^n|$ tagok növekedni fognak, így a sor divergens lesz.

5. Sugáron lévő pontok ($|z|=R$)

Ha $|z|=R$, akkor a sor viselkedése a $c_n$ együtthatók és a $z^n$ tényezők pontos viszonyától függ. Konvergencia vagy divergencia esetileg határozható meg.

Példák

Példa 1: Egyszerű hatványsor

Legyen: $$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}.$$ Itt $c_n=\frac{1}{n!}$, így: $$\sqrt[n]{|c_n|}=\sqrt[n]{\frac{1}{n!}}.$$ Mivel $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{n!}=\mathrm{\infty }$, a konvergenciasugár: $$R=\frac{1}{0}=\mathrm{\infty }.$$ Ez a hatványsor az egész komplex síkon konvergens.

Példa 2: Geometriai sor

Legyen: $$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^n.$$ Itt $c_n=1$, így: $$\sqrt[n]{|c_n|}=1.$$ A konvergenciasugár: $$R=\frac{1}{1}=1.$$ A sor konvergens $|z|<1$, divergens $|z|>1$, és $|z|=1$-en divergál.

Fontos Következmények

1. Hatványsorok konvergenciája:

  - A tétel segít meghatározni, hogy egy hatványsor mely tartományban konvergens.

1. Komplex analízis alapvető eszköze:

  - A konvergenciasugár fogalma a komplex függvények analízisének alapvető része.

1. Numerikus analízis és sorfejtések:

  - A sorfejtések helyességének és alkalmazhatóságának vizsgálatára szolgál.

Összegzés

A Cauchy–Hadamard-tétel pontosan meghatározza egy hatványsor konvergenciasugarát, és megadja a sor konvergenciájának feltételeit. Ez a tétel alapvető szerepet játszik a komplex analízisben és a hatványsorokkal való számításokban, különösen a matematikai fizikában és a numerikus matematikában.

• Sablon:En: Sablon:T