Cantor-tétel

1. Sablon:Label $|H|<|𝒫(H)|$ egy halmaz számossága kisebb, mint hatványhalmazának számossága. Következik, hogy bármely számosságnál van nagyobb számosság is, azaz végtelen sok különböző számosságot értelmezhetünk.

---

Cantor-tétel

Definíció

A Cantor-tétel a halmazelmélet egyik alapvető tétel, amely a végtelen halmazok számosságának összehasonlítására vonatkozik. A tétel azt mondja ki, hogy ha $S$ egy halmaz, akkor a halmaz hatványhalmaza (azaz a $S$ összes részhalmaza) mindig nagyobb számosságú, mint maga a halmaz. Ez azt jelenti, hogy a hatványhalmaznak nincs olyan bijektív leképezése, amely a halmazra, tehát $S$ egy egy-az-egyhez leképezése lenne.

> Tétel (Cantor-tétel): Ha $S$ egy halmaz, akkor annak hatványhalmaza, $𝒫(S)$, mindig nagyobb számosságú, mint $S$, azaz $|S|<|𝒫(S)|$.

Ez a tétel azt mutatja, hogy az összes részhalmaz (a hatványhalmaz) a kiinduló halmazhoz képest "számosságilag" nagyobb.

Fontos Fogalmak

1. Halmaz számosság

- A halmaz számossága azt a fogalmat jelöli, hogy hány elem található egy adott halmazban. Véges halmazok esetén a számosság egyszerűen a halmaz elemeinek száma, míg végtelen halmazok esetén a számosság az az osztály, amelybe a halmaz tartozik.

2. Hatványhalmaz

- A hatványhalmaz $𝒫(S)$ egy halmaz összes részhalmazát tartalmazza, beleértve a nullhalmazt és a halmazt magát is.

3. Bijektív leképezés

- A bijektív leképezés egy olyan leképezés, amely egyértelműen hozzárendel minden elemet egy másik elemhez úgy, hogy minden elemhez pontosan egy másik elem tartozik. A Cantor-tétel szerint nincs bijektív leképezés a halmaz és annak hatványhalmaza között.

Bizonyítás

Cantor híres bizonyítása a következő lépéseken alapul:

1. A hatványhalmaz fogalma

- Tekintsünk egy $S$ halmazt. A hatványhalmaz $𝒫(S)$ az összes részhalmazát tartalmazza. A cél az, hogy megmutassuk, hogy $|𝒫(S)|>|S|$, tehát a hatványhalmaz számossága nagyobb, mint $S$ számossága.

2. Feltételezés: létezik bijektív leképezés

- Tegyük fel, hogy létezik egy bijektív leképezés $f$ a halmaz $S$ és a hatványhalmaz $𝒫(S)$ között, azaz minden $s\in S$ egyedülállóan hozzárendelünk egy részhalmazt $f(s)\in 𝒫(S)$.

3. Contradictio (ellentmondás)

- Most definiáljunk egy új halmazt $T$, amely a következő módon van meghatározva: $T=\{s\in S:s\notin f(s)\}$ Ez a halmaz azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek nem tartoznak saját leképezésükhöz. A kérdés az, hogy $T$ részhalmaza-e a $𝒫(S)$-nek.

- Ha $T\in f(S)$, akkor létezik egy $t\in S$, hogy $f(t)=T$. Most két lehetőség van:

 - Ha $t\in T$, akkor $t\notin f(t)$, de mivel $f(t)=T$, akkor $t\in T$, ami ellentmondás.
 - Ha $t\notin T$, akkor $t\in f(t)$, de mivel $t\notin T$, ezért $t\in T$ ellentmondás.

4. Következtetés

- Az ellentmondás arra vezet, hogy nincs olyan bijektív leképezés, amely összeköti $S$-t és $𝒫(S)$-t. Ezért $|𝒫(S)|>|S|$, tehát a hatványhalmaz mindig nagyobb számosságú, mint maga a halmaz.

Példa

Példa 1: Végtelen halmaz

- Tekintsük a $S=\mathbb{N}$ halmazt, azaz a természetes számok halmazát. A $𝒫(S)$, vagyis a természetes számok hatványhalmaza tartalmazza az összes részhalmazt, például a végtelen részhalmazokat is, így a hatványhalmaz számossága nagyobb, mint $\mathbb{N}$.

Példa 2: Véges halmaz

- Ha $S=\{1,2\}$, akkor $𝒫(S)=\{\mathrm{\varnothing },\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$, tehát $|𝒫(S)|=4$, míg $|S|=2$, így a tétel itt is érvényes, mert $𝒫(S)$ számossága nagyobb, mint $S$ számossága.

Fontos Következmények

1. Végtelen halmazok számossága:

  - A Cantor-tétel megerősíti, hogy a végtelen halmazok hatványhalmaza mindig nagyobb számosságú, mint maga a halmaz, így különböző "méretű" végtelenek léteznek.

1. Uncountable halmazok:

  - A tétel segít megérteni a számlálhatatlan halmazokat. A valódi számok halmaza például egy példája a számosság szempontjából "nagyobb" végtelen halmaznak, mint a természetes számok halmaza.

1. Matematikai logika és halmazelmélet:

  - A Cantor-tétel alapvető fontosságú a halmazelméletben, mivel az halmazok különböző számosságait és azok hierarchiáját mutatja be.

Összegzés

A Cantor-tétel alapvető eredmény a halmazelméletben, amely kimondja, hogy egy halmaz hatványhalmaza mindig nagyobb számosságú, mint maga a halmaz. Ez a tétel a végtelen halmazok számosságának vizsgálatában fontos szerepet játszik, és megerősíti, hogy a végtelen halmazok különböző "méretűek" lehetnek.

• Sablon:En: Sablon:T