Bolzano-tétel

1. Sablon:Matematika Ha az f függvény folytonos az $[a,b]$ zárt intervallumon, akkor itt fölvesz minden $f(a)$ és $f(b)$ közötti értéket, azaz tetszőleges, $f(a)$ és $f(b)$ közötti $y_0$ számhoz létezik olyan $c\in [a,b]$, amelyre $f(c)=y_0$. A Bolzano-tétel szerint intervallumon értelmezett, negatív és pozitív értékeket is felvevő, folytonos függvénynek van zérushelye.

---

A **Bolzano-tétel** a valós analízis egy alapvető eredménye, amely a folytonos függvények nullhelyére vonatkozik. A tétel kimondja:

Fogalmak

Folytonosság

- Az $f(x)$ függvény folytonos az $[a,b]$ intervallumon, ha bármely $x_0\in [a,b]$ esetén: $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0).$

Kezdeti feltételek

- $f(a)\cdot f(b)<0$: Ez azt jelenti, hogy az $f(x)$ függvény $a$-ban és $b$-ben ellentétes előjelű, tehát az egyik értéke negatív, a másik pozitív.

Geometriai Értelmezés

Ha egy folytonos függvény az $[a,b]$ intervallum végpontjaiban különböző előjelet vesz fel, akkor a grafikonja az $a$-ból $b$-be tartva metszi az $x$-tengelyt. Ez azt jelenti, hogy a függvénynek van egy nullhelye az $(a,b)$ nyílt intervallumon belül.

Bizonyítás

1. Az intervallum osztási elve

- Az $[a,b]$ intervallumot addig felezzük, amíg egy $c$ pontot nem találunk, amelyre $f(c)=0$, vagy a felosztás elég kicsi lesz ahhoz, hogy egy $c$-t kijelölhessünk, ahol $f(c)$ elég közel van a nullához.

2. Alaplépések

1. Mivel $f(a)\cdot f(b)<0$, az $f(a)$ és $f(b)$ értékei között van egy előjelváltás.
2. Határozzuk meg az intervallum középpontját:

$c=\frac{a+b}{2}.$

1. Ellenőrizzük $f(c)$-t:

  - Ha $f(c)=0$, akkor megtaláltuk a nullhelyet.
  - Ha $f(a)\cdot f(c)<0$, akkor az $[a,c]$ intervallumban van előjelváltás, és $c$-t tekintjük az új $b$-nek.
  - Ha $f(c)\cdot f(b)<0$, akkor a nullhely az $[c,b]$ intervallumban van, és $c$-t tekintjük az új $a$-nak.

3. Folytonosság és határérték

- Az $[a,b]$ intervallum folyamatos felezésével egy egyre kisebb $[a_n,b_n]$ intervallumot kapunk, ahol: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(b_n-a_n)=0.$ - Mivel az $f(x)$ folytonos, és $f(a)\cdot f(b)<0$, az $f(x)$-nek van egy nullhelye az $(a,b)$ intervallumon.

4. Következtetés

A felezési eljárás alapján biztosítható, hogy létezik egy $c\in (a,b)$, amelyre $f(c)=0$.

Példa

Függvény

Legyen $f(x)=x^2-2$.

Intervallum

Válasszuk az $[a,b]=[1,2]$ intervallumot.

Lépések

1. Ellenőrzés:

$f(1)=-1,f(2)=2,f(1)\cdot f(2)<0.$ Tehát van nullhely az $[1,2]$ intervallumon.

1. Felezés:

  - $c=\frac{1+2}{2}=1.5$.
  - $f(1.5)=1.5^2-2=0.25>0$.
  - Új intervallum: $[1,1.5]$.

1. Új középpont:

  - $c=\frac{1+1.5}{2}=1.25$.
  - $f(1.25)=1.25^2-2=-0.4375<0$.
  - Új intervallum: $[1.25,1.5]$.

Eredmény

További felezéssel egyre közelebb kerülünk a $\sqrt{2}\approx 1.414$ nullhelyhez.

Python Implementáció

def bolzano_bisection(f, a, b, tol=1e-6):
    """
    Bolzano-tétel alapján a nullhely meghatározása felezési módszerrel.

    Args:
        f: Függvény, amelynek nullhelyét keressük.
        a: Intervallum bal széle.
        b: Intervallum jobb széle.
        tol: Tolerancia az eredmény pontosságához.

    Returns:
        A nullhely közelítő értéke.
    """
    if f(a) * f(b) >= 0:
        raise ValueError("A függvénynek nincs előjelváltása az [a, b] intervallumon.")
    
    while (b - a) / 2 > tol:
        c = (a + b) / 2
        if f(c) == 0:
            return c  # Nullhely megtalálva
        elif f(a) * f(c) < 0:
            b = c
        else:
            a = c
    
    return (a + b) / 2

# Példa használat
f = lambda x: x**2 - 2
nullhely = bolzano_bisection(f, 1, 2)
print(f"A nullhely: {nullhely}")

Kimenet

A nullhely: 1.4142136573791504

Alkalmazások

1. Numerikus számítások:

  - Egyenletek megoldása, például gyökök keresése.

1. Fizikai modellek:

  - Határfeltételek elemzése folytonos rendszerekben.

1. Gazdasági modellek:

  - Optimális ár, hozam vagy költség meghatározása.

Összegzés

A **Bolzano-tétel** a folytonos függvények egy alapvető tulajdonságát írja le, amely szerint egy intervallumban, ahol előjelváltás történik, biztosan létezik nullhely. A tétel nemcsak matematikai jelentőséggel bír, hanem széles körben alkalmazható a numerikus analízisben és a gyakorlati problémák megoldásában.

• Sablon:En: Sablon:T
• Sablon:Ru: Sablon:T