Bolzano-Weierstrass-tétel

1. Sablon:Humatek A Bolzano–Weierstrass-tétel az analízis egyik alapvető tétele, amely a valós számok környezetében a sorozatok konvergenciájával és részhalmazok sűrűségével foglalkozik.

Matematikai Formuláció

Legyen $(a_n)$ egy valós számsorozat. Ha $(a_n)$ korlátos, tehát létezik olyan $M>0$, hogy: $|a_n|\le M\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},$ akkor létezik egy $(a_{n_k})$ részsorozat, amely konvergens, azaz létezik olyan $L\in ℝ$, hogy: $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_{n_k}=L.$

Fogalmak

Korlátos sorozat

- Egy $(a_n)$ sorozat korlátos, ha létezik olyan $M>0$, amelyre $|a_n|\le M$ minden $n$-re.

Részsorozat

- Egy $(a_{n_k})$ sorozat az $(a_n)$ sorozat részsorozata, ha létezik egy $n_k$ indexsorozat, amely szigorúan monoton növekvő ($n_1<n_2<\dots$).

Konvergencia

- Egy $(a_n)$ sorozat konvergens, ha létezik egy $L\in ℝ$, amelyre: $\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}\text{ha}n>N,\text{akkor}|a_n-L|<\epsilon .$

Bolzano–Weierstrass-tétel Bizonyítása

1. Előkészítés

Legyen $(a_n)$ egy korlátos sorozat, tehát: $\mathrm{\exists }M>0\text{hogy}|a_n|\le M\mathrm{\forall }n.$ A korlátosság azt jelenti, hogy az $(a_n)$ sorozat minden eleme egy véges $[-M,M]$ intervallumba esik.

2. Az intervallum felezési módszere

- Osszuk az $[-M,M]$ intervallumot két egyenlő részre:

 - $[-M,\frac{-M+M}{2}]$ és $[\frac{-M+M}{2},M]$.

- Az $(a_n)$ sorozat elemei közül legalább az egyik intervallumba végtelen sok elem tartozik, mivel $(a_n)$ végtelen sorozat.

3. Végtelen részsorozat kiválasztása

1. Válasszuk ki azt az intervallumot, amelyben végtelen sok elem található. 2. Ismételjük meg a felezést a kiválasztott intervallumon belül. 3. Az eljárás végtelenszer alkalmazható, és minden lépésben egy egyre kisebb intervallumot kapunk, amely végtelen sok elemet tartalmaz.

4. Intervallumok konvergenciája

- Az intervallumok hossza $M/2^k$-re csökken, ahol $k$ az osztások száma. - Az intervallumok végtelen számú metszete pontosan egyetlen pontot tartalmaz, jelöljük ezt $L$-lel: $\bigcap _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{I}_k=\{L\}.$

5. Részsorozat definiálása

- Az $(a_n)$ sorozatból válasszunk ki egy $(a_{n_k})$ részsorozatot úgy, hogy minden $n_k$ a megfelelő $k$-adik intervallumba essen. - Ez a részsorozat konvergens, és határértéke $L$.

6. Következtetés

- A $(a_n)$ korlátossága biztosítja a részsorozat létezését, amely konvergens.

Példa

Sorozat

Legyen $a_n=(-1{)}^n+\frac{1}{n}$, amely korlátos, mivel: $|a_n|\le 2\mathrm{\forall }n.$

Részsorozatok

- A páros indexű részsorozat ($a_{2n}$): $a_{2n}=1+\frac{1}{2n}\to 1.$ - A páratlan indexű részsorozat ($a_{2n+1}$): $a_{2n+1}=-1+\frac{1}{2n+1}\to -1.$

Következtetés

Az $a_n$ sorozat nem konvergens, de léteznek konvergens részsorozatai ($a_{2n}\to 1$, $a_{2n+1}\to -1$).

Fontos Következmények

1. Valós számok teljessége:

  - A Bolzano–Weierstrass-tétel szorosan kapcsolódik a valós számok teljességi tulajdonságához.

1. Kompakt halmazok:

  - A tétel általánosítása szerint minden korlátos és zárt részhalmaz a valós számok halmazában kompakt, vagyis minden végtelen sorozatnak van konvergens részsorozata.

1. Numerikus analízis:

  - A tétel alapot nyújt iteratív numerikus módszerek konvergenciájának bizonyításához.

Összegzés

A Bolzano–Weierstrass-tétel a valós analízis egyik legfontosabb tétele, amely biztosítja, hogy bármely korlátos valós számsorozatnak van konvergens részsorozata. Ez a tétel a valós számok teljességének közvetlen következménye, és számos matematikai területen, például a numerikus analízisben és a matematikai logikában is alkalmazzák.

• Sablon:En: Sablon:T