Bolzano-Darboux-tétel

1. Sablon:Label

Bolzano–Darboux-tétel

A **Bolzano–Darboux-tétel** az analízis egyik alapvető eredménye, amely kimondja, hogy a valós számok halmazán értelmezett deriváltfüggvények kielégítik a középértéktulajdonságot, függetlenül attól, hogy folytonosak-e.

A tétel megfogalmazása

Legyen $f$ egy $[a,b]$ intervallumon differenciálható függvény. Ekkor, ha $f^{\prime }(a)$ és $f^{\prime }(b)$ között van egy $c$ valós szám, azaz: $f^{\prime }(a)\le c\le f^{\prime }(b)\text{vagy}{f}^{\prime }(a)\ge c\ge f^{\prime }(b),$ akkor létezik egy $\xi \in (a,b)$, amelyre: $f^{\prime }(\xi )=c.$

Ez azt jelenti, hogy a deriváltfüggvény az $[a,b]$ intervallumon kielégíti a középértéktulajdonságot.

Magyarázat

A Bolzano–Darboux-tétel a következő tulajdonságokra épül:

• A deriváltfüggvény nem feltétlenül folytonos, de az "értékei között" minden köztes értéket felvesz.
• Ez hasonló a középértéktételhez, amely a folytonos függvényekre igaz. A Bolzano–Darboux-tétel azonban a deriváltfüggvények esetében folytonosság feltétele nélkül is alkalmazható.

A tétel kimondja, hogy a deriváltfüggvény „viselkedése” nem lehet ugrásszerű, még akkor sem, ha maga a deriváltfüggvény nem folytonos.

Példa

Vegyük az alábbi függvényt: $f(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^2\sin \left(\frac{1}{x}\right),& \text{ha }x\ne 0,\\ 0,& \text{ha }x=0.\end{array}$

Ez a függvény differenciálható az $[-1,1]$ intervallumon, de a deriváltfüggvény nem folytonos. Azonban, ha $f^{\prime }(a)=-1$ és $f^{\prime }(b)=1$, akkor a Bolzano–Darboux-tétel garantálja, hogy létezik egy $\xi \in (a,b)$, ahol $f^{\prime }(\xi )=0$, még akkor is, ha a deriváltfüggvény nem folytonos.

Alkalmazások

A Bolzano–Darboux-tétel számos területen alkalmazható az analízisben: 1. **Deriváltfüggvények viselkedése:** Segít megérteni a nem folytonos deriváltfüggvények tulajdonságait. 2. **Középértéktulajdonságok elemzése:** Biztosítja, hogy a deriváltfüggvények kielégítik a középértéktulajdonságot. 3. **Topológiai elemzések:** A tétel fontos szerepet játszik az intervallumok köztes értéktulajdonságainak vizsgálatában.

További megjegyzések

• A Bolzano–Darboux-tétel általánosabb, mint a Lagrange-féle középértéktétel, mivel nem igényli a deriváltfüggvény folytonosságát.
• A tétel szorosan kapcsolódik a középértéktételhez, amely folytonos függvényekre vonatkozik.
• A tétel alkalmazása segíthet olyan függvények tulajdonságainak vizsgálatában, amelyek nem rendelkeznek minden ponton "szép" viselkedéssel, például nem folytonos deriváltú függvények esetén.

Történet

A tételt a 19. században dolgozták ki a valós függvények tulajdonságainak részletesebb megértése érdekében. Bernard Bolzano és Gaston Darboux külön-külön fektették le az alapokat, amelyek az analízis fejlődésének sarokkövévé váltak.