Binomiális eloszlás

1. Sablon:Label A binomiális eloszlás egy diszkrét valószínűségi eloszlás, amelyet olyan kísérletek modellezésére használnak, amelyekben $n$ független Bernoulli-kísérletet hajtunk végre, és az egyes kísérleteknek két kimenete van: siker (1) és kudarc (0). A binomiális eloszlás főként arra szolgál, hogy megmutassa, milyen valószínűséggel fordul elő $k$ siker egy adott kísérletsorozatban.

Főbb jellemzők

1. Paraméterek:

• $n$: A kísérletek száma.
• $p$: A siker valószínűsége egyetlen kísérletben.
• $q=1-p$: A kudarc valószínűsége.

2. Valószínűségi tömegfüggvény (PMF): A binomiális eloszlás valószínűségi tömegfüggvénye a következőképpen írható fel: $$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$$ ahol $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ a binomiális együttható, amely a következőképpen számolható: $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$ Ahol $n!$ a faktoriális, amely a számok szorzataként definiálható.

3. Elvárt érték és szórás: - Az elvárt érték (várható érték) a binomiális eloszlás esetén: $$E(X)=np$$ - A szórás (standard deviation) a következőképpen számolható: $$\sigma =\sqrt{npq}$$

Példa

Tegyük fel, hogy egy pénzfeldobás sikeresnek számít, ha fej (p = 0.5) jön ki, és 10-szer dobunk fel egy érmét. Ha meg akarjuk határozni, milyen valószínűséggel dobunk 6 fejet, a következőképpen járunk el:

- $n=10$ (kísérletek száma) - $k=6$ (sikeres kísérletek száma) - $p=0.5$ (siker valószínűsége)

A PMF kiszámítása: $$P(X=6)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{6})(0.5{)}^6(0.5{)}^4=(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{6})(0.5{)}^{10}=\frac{210}{1024}\approx 0.205$$

• Sablon:En: Sablon:T+