Bernoulli-számok

1. Sablon:Humatek A Bernoulli-számok nagyon érdekes és fontos elemei a számelméletnek és a matematikai analízisnek. Ezek a számok nemcsak a rekurzív definíciójuk alapján állnak elő, hanem sok különböző matematikai kontextusban is előfordulnak, például a sorfejtésekben és a speciális függvények kifejezésében.

A racionális számokból álló Bernoulli-számsorozatot $((B_n{)}_{n\ge 0})$ a következő rekurzió határozza meg:

$B_0=1,$ továbbá

$B_0+2B_1=0,$

$B_0+3B_1+3B_2=0,$

$B_0+4B_1+6B_2+4B_3=0,$

$B_0+5B_1+10B_2+10B_3+5B_4=0,$ és így tovább.

Általánosan a következő rekurzív képlettel értelmezzük a sorozatot: $B_n=-\frac{1}{n+1}\cdot \sum _{k=0}^{n-1}((\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})\cdot B_k)$.

Így adódik a $B_0=1,B_1=-\frac{1}{2},B_2=\frac{1}{6},B_3=0,B_4=-\frac{1}{30},B_5=0,B_6=\frac{1}{42},\dots$ sorozat.

A Bernoulli-számok néhány további érdekes jellemzője és alkalmazása:

Alternáló Sorozatok: A Bernoulli-számok segítségével kifejezhetőek különféle alternáló sorozatok és identitások. Például a summák és polinomok integrálásának során a Bernoulli-számok szerepet játszanak.

Polinomok: A Bernoulli-számok megjelennek a Bernoulli-poligonban is, amely egy speciális típusú polinom, amely a Bernoulli-számok segítségével definiálható.

Euler-féle Polinomok: A Bernoulli-számok és az Euler-féle polinomok között szoros kapcsolat van, mivel az Euler-féle polinomok kifejezhetők a Bernoulli-számok segítségével.

Kalkulus: A Bernoulli-számok gyakran előkerülnek a határértékek és sorok vizsgálata során, különösen az analízis különböző területein, mint például a Taylor-sorok és a Fourier-sorok.

Zéta-függvény: A Riemann-féle zéta-függvényhez való kapcsolódásuk miatt a Bernoulli-számok fontos szerepet játszanak a számelméletben, különösen a számok eloszlásának és a prim számokkal kapcsolatos kérdésekben. Sablon:Hunl