Basu-tétel

1. Sablon:Humatek A statisztikában a Basu-tétel azt állítja, hogy bármely komplett elégséges statisztika független bármely kiegészítő statisztikától.

Egy statisztika kiegészítő statisztika, ha az eloszlása nem függ θ-tól.

Basu-tétel

A **Basu-tétel** a valószínűségelmélet és statisztika egyik alapvető tétele, amely a torzítatlan becslésekről és a megfelelő statisztikákról szól. A tétel kimondja, hogy ha egy statisztika elégséges és torzítatlan becsléshez független, akkor a statisztika szórása nulla, tehát determinisztikus.

---

Tétel

Legyen $X=(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ egy mintavételi minta egy populációból, amelynek sűrűségfüggvénye $f(x;\theta )$, ahol $\theta$ ismeretlen paraméter. Legyen $T(X)$ egy elégséges statisztika a $\theta$-ra nézve, és $S(X)$ egy másik statisztika, amely $T(X)$-től független. Ha $S(X)$ torzítatlan becslése a $g(\theta )$-nak, akkor $S(X)$ determinisztikus.

---

Bizonyítás

1. Definíciók és előkészületek

• $T(X)$: egy elégséges statisztika a Neyman–Fisher-tétel alapján, azaz $f(x;\theta )$ faktorizálható:

$$f(x;\theta )=h(x)\cdot g(T(x);\theta ),$$ ahol $h(x)$ nem függ $\theta$-tól.

• $S(X)$: egy statisztika, amely $T(X)$-től független, és torzítatlan becslést ad $g(\theta )$-ra:

$$E[S(X)]=g(\theta ).$$

---

2. Függetlenségből származó tulajdonság

Ha $S(X)$ és $T(X)$ függetlenek, akkor a kettő közötti korreláció nulla. Mivel $T(X)$ elégséges, minden információ $\theta$-ról $T(X)$-en keresztül érkezik. Ez azt jelenti, hogy $S(X)$-nek nincs extra információja $\theta$-ról a $T(X)$-en túl.

---

3. Torzítatlan becslés következménye

Az elégséges statisztika tulajdonságai miatt a $S(X)$ torzítatlansága és függetlensége következtében:

$$\text{Var}(S(X))=0,$$

tehát $S(X)$ szórása nulla. Ez azt jelenti, hogy $S(X)$ nem lehet sztochasztikus, hanem determinisztikus, azaz konstans.

---

Következtetés

A **Basu-tétel** azt mondja ki, hogy egy $\theta$-ra elégséges statisztikától független torzítatlan becslőfüggvénynek nincs szórása, vagyis nem hordoz hasznos információt, és determinisztikus. Ez a tétel különösen fontos a statisztikai becslések és elméleti eredmények megalapozásában.

Sablon:Hunl