Affin csoport

1. Sablon:Humatek Legyen T test, n ≥ 1 egész, és tekintsük az

   $\mathrm{AGL}(n,T)=\{v\mapsto Mv+b:b\in T^n,M\in \mathrm{GL}(n,T)\}$

   leképezéseket a $T^n$ halmazon (az M tehát tetszőleges, n × n-es invertálható mátrix). Ezek csoportját a kompozícióra affin csoportnak hívjuk, elemeik az affin transzformációk. A sík és a tér egybevágósági transzformációi tehát az AGL(n, R) csoport elemeinek tekinthetők, ha n = 2, illetve 3. Az AGL(1, T ) csoport az $x\mapsto ax+b$ leképezésekből áll, ahol $a\ne 0$ és b a T test elemei (vagyis ezek pontosan az elsőfokú polinomokhoz tartozó polinomfüggvények, a csoportművelet közöttük a kompozíció).

   Az $R^n$ térben az $(x_1,\dots ,x_n)\text{ és }(y_1,\dots ,y_n)$ pontok távolságát a

   $\sqrt{{(x_1-y_1)}^2+\dots +{(x_n-y_n)}^2}$ képlettel definiáljuk, ezzel $R^n$ euklideszi térré válik. Egy n×n-es valós mátrixot ortogonálisnak nevezünk, ha az inverze megegyezik a transzponáltjával. Meg lehet mutatni, hogy az ezekhez tartozó lineáris transzformációk pontosan azok, amelyek megtartják a fenti távolságot. Komplex fölött analóg módon unitér mátrixokról beszélünk, amelyek inverze a transzponáltjuk komplex konjugáltja.

• Sablon:En: Sablon:T