Транспонированная матрица

1. Sablon:Rumatek mátrix transzponáltja

---

Транспонированная матрица: 📌 Транспонирование матрицы: – это операция, при которой строки и столбцы меняются местами.

Если дана матрица A: размером $m\times n$, то её транспонированная матрица $A^T$: будет размером $n\times m$.

—

Пример транспонирования

Пусть дана матрица A: $$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]$$ Транспонируем её (меняем строки и столбцы местами):

$$A^T=\left[\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array}\right]$$

🔹 Что произошло?: - Первая строка (1,2,3): стала первым столбцом. - Вторая строка (4,5,6): стала вторым столбцом.

—

Общее определение

Если матрица $A$ имеет элементы $a_{ij}$, то её транспонированная матрица $A^T$ имеет элементы $a_{ji}^T$:

$$(A^T{)}_{ji}=A_{ij}$$

То есть $a_{ij}$ превращается в $a_{ji}$.

—

Свойства транспонирования

✔ Дважды транспонирование возвращает исходную матрицу: $$(A^T{)}^T=A$$ ✔ Транспонирование суммы: $$(A+B{)}^T=A^T+B^T$$ ✔ Транспонирование произведения: (перемножение меняет порядок матриц): $$(AB{)}^T=B^T{A}^T$$ ✔ Транспонирование единичной матрицы: даёт саму себя: $$I^T=I$$

—

Применение в реальной жизни

✅ Линейная алгебра: – операции с матрицами. ✅ Компьютерная графика: – вращение изображений. ✅ Искусственный интеллект: – обработка данных. ✅ Физика и механика: – преобразования координат.

—

Программа на C++ для транспонирования матрицы

#include <iostream>
using namespace std;

void transposeMatrix(int matrix[][3], int rows, int cols) {
    int transposed[3][2]; // Создаём новую матрицу с поменянными размерами

    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        for (int j = 0; j < cols; j++) {
            transposed[j][i] = matrix[i][j]; // Меняем строки на столбцы
        }
    }

    // Вывод транспонированной матрицы
    cout << "Транспонированная матрица:" << endl;
    for (int i = 0; i < cols; i++) {
        for (int j = 0; j < rows; j++) {
            cout << transposed[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
}

int main() {
    int matrix[2][3] = { {1, 2, 3}, {4, 5, 6} };
    
    cout << "Исходная матрица:" << endl;
    for (int i = 0; i < 2; i++) {
        for (int j = 0; j < 3; j++) {
            cout << matrix[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }

    transposeMatrix(matrix, 2, 3);

    return 0;
}

Выход программы:

Исходная матрица:
1 2 3
4 5 6

Транспонированная матрица:
1 4
2 5
3 6

—

Вывод

🔹 Транспонированная матрица: – это матрица, в которой строки становятся столбцами. 🔹 Используется в линейной алгебре, анализе данных, машинном обучении. 🔹 Операция проста, но имеет важные свойства: для матричных вычислений. 🚀