Теорема Пифагора

1. Sablon:Matematika Pitagorasz-tétel

Теорема Пифагора — одно из самых известных утверждений геометрии, которое связывает длины сторон прямоугольного треугольника. Она гласит:

Формулировка: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

$$c^2=a^2+b^2,$$

где: - $c$ — гипотенуза (сторона, противоположная прямому углу); - $a$ и $b$ — катеты (стороны, прилежащие к прямому углу).

—

Пример использования:

Пример 1: В прямоугольном треугольнике длины катетов равны $a=3$ и $b=4$. Найдите гипотенузу $c$.

Решение: $$c^2=a^2+b^2=3^2+4^2=9+16=25.$$ $$c=\sqrt{25}=5.$$ Ответ: $c=5$.

—

Пример 2: В прямоугольном треугольнике гипотенуза $c=13$ и один из катетов $a=5$. Найдите второй катет $b$.

Решение: $$c^2=a^2+b^2⟹b^2=c^2-a^2=13^2-5^2=169-25=144.$$ $$b=\sqrt{144}=12.$$ Ответ: $b=12$.

—

Доказательство теоремы Пифагора

1. Геометрическое доказательство Рассматриваются два квадрата: внешний квадрат, построенный на гипотенузе, и внутренние квадраты на катетах. Их площади сопоставляются.

2. Алгебраическое доказательство Основано на разложении площади квадрата, построенного на гипотенузе, через площади двух других квадратов.

—

Применение теоремы Пифагора

1. Геометрия Вычисление длины сторон треугольников и диагоналей прямоугольников.

2. Физика Вычисление расстояний в двух- и трёхмерных пространствах (например, путь тела по диагонали).

3. Навигация Определение кратчайшего расстояния между двумя точками на карте.

4. Компьютерные науки Вычисление расстояний между пикселями на изображении.

—

История теоремы Пифагора

- Теорема была известна задолго до Пифагора (около VI века до н. э.). Например, она использовалась в Вавилоне, Египте и Индии. - Имя Пифагора связано с первым строгим доказательством теоремы в рамках математической логики.

—

Заключение

Теорема Пифагора — это фундаментальное утверждение, которое имеет не только теоретическую значимость, но и огромное практическое применение. Она помогает решать задачи в геометрии, физике, инженерии и повседневной жизни. Sablon:Rusl