Система счисления

1. Sablon:Rumatek számrendszer

десятичная система счисления

decimális számrendszer

---

Система счисления в математике и программировании (C++)

—

1. Что такое система счисления? 📌 Система счисления – это способ записи чисел с использованием определённого набора символов (цифр) и правил.

🔹 Формула перевода числа в любую систему: $$N=a_k\cdot b^k+a_{k-1}\cdot b^{k-1}+\dots +a_1\cdot b^1+a_0\cdot b^0$$ Где: - $N$ – число. - $b$ – основание системы счисления. - $a_k,a_{k-1},...a_0$ – цифры числа.

—

2. Виды систем счисления # 1️⃣ Десятичная система (основание 10) 📌 Использует 10 цифр: ‘0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9‘. ✅ Пример: $$257_{10}=2\cdot 10^2+5\cdot 10^1+7\cdot 10^0=200+50+7$$

—

2️⃣ Двоичная система (основание 2, бинарная) 📌 Использует 2 цифры: ‘0‘ и ‘1‘. ✅ Пример: $$1011_2=1\cdot 2^3+0\cdot 2^2+1\cdot 2^1+1\cdot 2^0=8+0+2+1=11_{10}$$

—

3️⃣ Восьмеричная система (основание 8) 📌 Использует 8 цифр: ‘0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7‘. ✅ Пример: $$745_8=7\cdot 8^2+4\cdot 8^1+5\cdot 8^0=448+32+5=485_{10}$$

—

4️⃣ Шестнадцатеричная система (основание 16, HEX) 📌 Использует 16 символов: 🔢 ‘0-9‘ и 🔡 ‘A-F‘ (где ‘A=10‘, ‘B=11‘, ‘C=12‘, ‘D=13‘, ‘E=14‘, ‘F=15‘). ✅ Пример: $$3F_{16}=3\cdot 16^1+F\cdot 16^0=3\cdot 16+15=48+15=63_{10}$$

—

3. Перевод чисел между системами счисления # 🔹 Перевод из десятичной в двоичную (деление на 2) 📌 Пример: перевести ‘25₁₀‘ в двоичную 1. Делим число на 2 и записываем остатки: “‘ 25 ÷ 2 = 12, остаток 1 12 ÷ 2 = 6, остаток 0 6 ÷ 2 = 3, остаток 0 3 ÷ 2 = 1, остаток 1 1 ÷ 2 = 0, остаток 1 “‘ 2. Читаем остатки снизу вверх → 11001₂

✅ Ответ: $$25_{10}=11001_2$$

—

🔹 Перевод двоичного в десятичное (умножение на 2) 📌 Пример: перевести ‘1101₂‘ в десятичную $$1\cdot 2^3+1\cdot 2^2+0\cdot 2^1+1\cdot 2^0=8+4+0+1=13_{10}$$

✅ Ответ: $$1101_2=13_{10}$$

—

4. Реализация систем счисления в C++

🔹 Перевод из десятичной в двоичную (C++)

#include <iostream>
using namespace std;

// Функция перевода числа в двоичную систему
void decimalToBinary(int num) {
    string binary = "";
    
    while (num > 0) {
        binary = to_string(num % 2) + binary; // Добавляем остаток слева
        num /= 2;
    }

    cout << "Двоичный код: " << binary << endl;
}

int main() {
    int num;
    cout << "Введите число: ";
    cin >> num;

    decimalToBinary(num);
    return 0;
}

📌 Пример работы:

Введите число: 25
Двоичный код: 11001

---

🔹 Перевод из двоичной в десятичную (C++)

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

// Функция перевода из двоичной в десятичную
int binaryToDecimal(string binary) {
    int decimal = 0, power = 0;

    for (int i = binary.length() - 1; i >= 0; i--) {
        if (binary[i] == '1') {
            decimal += pow(2, power);
        }
        power++;
    }
    
    return decimal;
}

int main() {
    string binary;
    cout << "Введите двоичное число: ";
    cin >> binary;

    cout << "Десятичное число: " << binaryToDecimal(binary) << endl;
    return 0;
}

📌 Пример работы:

Введите двоичное число: 1101
Десятичное число: 13

---

5. Где используются системы счисления?

✅ Бинарная система (основание 2) - Используется в компьютерах (все данные хранятся как 0 и 1). - Применяется в логике, схемах, процессорах.

✅ Восьмеричная система (основание 8) - Использовалась в старых компьютерах (устарела, но встречается в UNIX-правах).

✅ Шестнадцатеричная система (основание 16) - Программирование (цвета в HTML/CSS: #FF5733). - Адреса в памяти (HEX) (0x3F8A).

---

6. Вывод

🔹 Система счисления – это способ записи чисел с определённым основанием.
🔹 Двоичная (2), десятичная (10), восьмеричная (8) и шестнадцатеричная (16) – основные системы.
🔹 Перевод чисел возможен с помощью деления и степеней основания.
🔹 В программировании часто используются двоичная и шестнадцатеричная системы 🚀.