Метод Ньютона

1. Sablon:Matematika Newton-módszer

---

Метод Ньютона – конспект

—

1. Введение 📌 Метод Ньютона (Newton’s Method, Newton-Raphson Method) – это численный алгоритм поиска корней уравнения или минимизации функции, основанный на разложении в ряд Тейлора.

📌 Используется в оптимизации, машинном обучении, математике, инженерии, физике, финансах.

📌 Работает быстрее градиентного спуска, но требует вычисления второй производной (Гессиана).

—

2. Основная идея метода Ньютона 🔹 Если функция $f(x)$ нелинейная, то метод Ньютона приближает её к линейной и ищет точку, где $f(x)=0$.

📌 Формула обновления: $$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$$ где: - $x_n$ – текущее приближение. - $f(x)$ – функция. - $f^{\prime }(x)$ – её производная.

📌 Пример: Решаем $x^2-2=0$ (ищем $\sqrt{2}$) 1. Начинаем с $x_0=1$. 2. Используем формулу Ньютона: $$x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-2}{2x_n}$$ 3. После нескольких итераций $x_n$ приближается к 1.414 (точное значение $\sqrt{2}$).

—

3. Метод Ньютона в оптимизации 📌 В оптимизации метод Ньютона ищет минимум функции $f(x)$, используя вторую производную (гессиан $H(x)$):

$$x_{n+1}=x_n-H^{-1}(x_n)\mathrm{\nabla }f(x_n)$$

🔹 Где: - $\mathrm{\nabla }f(x)$ – градиент функции (первая производная). - $H(x)$ – гессиан (матрица вторых производных).

📌 Алгоритм: 1️⃣ Вычисляем градиент $\mathrm{\nabla }f(x)$ (первая производная). 2️⃣ Вычисляем гессиан $H(x)$ (матрица вторых производных). 3️⃣ Обновляем параметры по формуле Ньютона. 4️⃣ Повторяем, пока не достигнем минимума.

📌 Пример: Используется для логистической регрессии, нейросетей, оптимизации портфелей в финансах.

—

4. Достоинства и недостатки

✅ Плюсы: ✔️ Быстрая сходимость (обычно быстрее градиентного спуска). ✔️ Высокая точность.

❌ Минусы: ⚠️ Требует вычисления второй производной (гессиана) → затратно при больших данных. ⚠️ Может застрять в локальном минимуме. ⚠️ Не всегда применим, если гессиан невозможно обратить.

📌 Решение проблем: - Метод квазиньютона (BFGS) – аппроксимирует гессиан без вычисления. - Дампированный метод Ньютона – добавляет регуляризацию.

—

5. Применение метода Ньютона 🚀 Машинное обучение – оптимизация функций потерь, логистическая регрессия. 🚀 Физика и инженерия – расчёт траекторий, моделирование процессов. 🚀 Финансы – анализ волатильности, оптимизация портфелей. 🚀 Компьютерная графика – трассировка лучей, симуляция поверхностей.

📌 Пример: В нейросетях метод Ньютона редко применяется напрямую, но его адаптации используются в оптимизационных алгоритмах (например, L-BFGS).

—

6. Итог 📌 Метод Ньютона – мощный алгоритм для быстрого поиска решений уравнений и оптимизации, но требует вычислительных ресурсов. В машинном обучении его применяют в улучшенных вариантах (BFGS, L-BFGS, damped Newton’s method). 🚀🔢