Standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye

1. Sablon:Label A standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye (CDF - cumulative distribution function) az adott $z$ értékhez tartozó valószínűséget adja meg, vagyis annak valószínűségét, hogy egy standard normális eloszlású változó kisebb vagy egyenlő lesz $z$-nél. A standard normális eloszlás eloszlásfüggvényét nem lehet egyszerű formában kifejezni elemi függvényekkel, de integrállal felírható.

A standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye: A standard normális eloszlás $\mu =0$ átlagú és ${\sigma }^2=1$ varianciájú normális eloszlás. Ennek sűrűségfüggvénye: $$f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}.$$

Eloszlásfüggvény (CDF): Az eloszlásfüggvény egy adott $z$ érték esetén a valószínűséget a következőképpen definiáljuk: $$\mathrm{\Phi }(z)=P(Z\le z)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{z}{\int }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt,$$ ahol $Z$ egy standard normális eloszlású változó, $t$ pedig egy integrálási változó.

Ez az integrál nem rendelkezik egyszerű zárt formával, de numerikusan kiszámítható, és táblázatok vagy számítógépes eszközök segítségével elérhető.

Néhány jellemző érték: - $\mathrm{\Phi }(0)=0.5$: a medián, mivel a normális eloszlás szimmetrikus. - $\mathrm{\Phi }(1)\approx 0.8413$: az 1 szóráson belüli értékek valószínűsége. - $\mathrm{\Phi }(-1)\approx 0.1587$: az 1 szóráson kívüli bal oldali valószínűség.

A normális eloszlás táblázatok vagy számítógépes programok (pl. Python, Excel, R) segítségével lehet pontosan meghatározni az eloszlásfüggvény értékeit bármely $z$-re.

Példa: Tegyük fel, hogy kíváncsiak vagyunk a valószínűségre, hogy egy standard normális eloszlású változó kisebb vagy egyenlő legyen 1,5-nél, azaz $P(Z\le 1.5)$. A táblázatból vagy számítógéppel: $$\mathrm{\Phi }(1.5)\approx 0.9332.$$ Ez azt jelenti, hogy egy standard normális eloszlású változó 93,32%-os valószínűséggel lesz kisebb vagy egyenlő 1,5-nél. Sablon:Hunl