Exponenciális eloszlás eloszlásfüggvénye

1. Sablon:Label Az exponenciális eloszlás eloszlásfüggvénye (más néven kumulatív eloszlásfüggvény, CDF) azt adja meg, hogy egy exponenciálisan eloszlású véletlen változó $X$ értéke kisebb vagy egyenlő lesz, mint egy adott $x$ érték. Matematikailag az eloszlásfüggvényt így írhatjuk fel:

$$F(x;\lambda )=P(X\le x)=1-e^{-\lambda x},x\ge 0,$$

ahol:

• $\lambda$ az eloszlás paramétere (pozitív szám), az események bekövetkezési gyakorisága,
• $e$ az Euler-féle szám (körülbelül $e\approx 2.718$).

Magyarázat

- Az eloszlásfüggvény a valószínűséget adja meg arra, hogy a véletlen változó értéke kevesebb vagy egyenlő, mint $x$. - Ahogy $x$ növekszik, $F(x)$ közelít az 1-hez, ami azt jelenti, hogy egyre nagyobb a valószínűsége annak, hogy az érték $x$-nél kisebb lesz. - Az eloszlásfüggvény kezdetben $0$, amikor $x=0$, és fokozatosan növekszik 1-ig.

Példa

Tegyük fel, hogy egy események bekövetkezési gyakorisága $\lambda =2$ (például egy hívás érkezik átlagosan minden 0,5 időegység alatt). Számoljuk ki annak valószínűségét, hogy az esemény 1 időegységen belül bekövetkezik:

$$F(1;2)=1-e^{-2\cdot 1}=1-e^{-2}\approx 1-0.1353=0.8647.$$

Tehát annak valószínűsége, hogy az esemény 1 időegységen belül bekövetkezik, 0.8647, azaz 86.47 Sablon:Hunl