Diszkrét eloszlásfüggvény

1. Sablon:Humatek A diszkrét eloszlásfüggvény (vagy diszkrét valószínűségi eloszlás) egy olyan valószínűségi eloszlás, amely egy végső vagy megszámlálhatóan végtelen sok lehetséges kimenetet definiál. Ezen eloszlások esetén a valószínűségek összege 1, és minden egyes kimenethez egy valószínűségi érték tartozik.

Főbb jellemzők

1. Definíció: A diszkrét valószínűségi eloszlás függvénye, amely megadja, hogy egy véletlen változó milyen valószínűséggel veszi fel az egyes értékeket. Leggyakrabban a következő formában írható fel: $$P(X=x_i)=p_i$$ ahol $X$ a diszkrét véletlen változó, $x_i$ az értékek halmaza, és $p_i$ a hozzájuk tartozó valószínűségek.

2. Valószínűségi tömegfüggvény (PMF): A diszkrét eloszlások jellemzője a valószínűségi tömegfüggvény, amely a diszkrét változó értékeit és azok valószínűségeit kapcsolja össze. A PMF a következőképpen definiálható: $$P(X=x)=f(x)$$ ahol $f(x)$ a tömegfüggvény, amely minden $x$ esetén megadja a valószínűséget.

3. Összegzés: A diszkrét eloszlások valószínűségeinek összege 1: $$\sum _{i}P(X=x_i)=1$$

Példák diszkrét eloszlásokra

1. Bernoulli-eloszlás: Egyetlen kísérlet (pl. pénzfeldobás) két kimenettel (siker és kudarc) rendelkezik, valószínűségekkel $p$ és $1-p$.

2. Binomiális eloszlás: $n$ független Bernoulli-kísérlet eredményeit modellezik, amelyben $k$ a sikeres kísérletek száma. A valószínűségi tömegfüggvény: $$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$$

3. Poisson-eloszlás: A ritkán előforduló események számát modellezik egy rögzített időtartam alatt. A PMF: $$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}$$ ahol $\lambda$ az események várható száma.

Összefoglalás

A diszkrét eloszlásfüggvények alapvető szerepet játszanak a valószínűségszámításban és a statisztikában, és széles körben alkalmazzák őket különféle kísérletek és modellek elemzésében.