Eloszlásfüggvény tulajdonságai

1. Sablon:Label Az eloszlásfüggvény (vagy valószínűségi eloszlásfüggvény) egy véletlen változó valószínűségi eloszlását leíró matematikai funkció. Az eloszlásfüggvényeknek több fontos tulajdonságuk van, amelyeket az alábbiakban összefoglalok:

1. Definíció - Az eloszlásfüggvény, $F(x)$, egy véletlen változó $X$ valószínűségét adja meg, hogy $X$ kisebb vagy egyenlő, mint $x$: $$F(x)=P(X\le x)$$

2. Monotonitás - Az eloszlásfüggvény monoton növekvő. Azaz, ha $a<b$, akkor: $$F(a)\le F(b)$$

3. Határértékek - Az eloszlásfüggvény határértékei:

• $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=0$
• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=1$

4. Folytonosság - Az eloszlásfüggvény folytonos vagy diszkrét lehet:

• Folytonos eloszlás esetén: A függvény folytonos, és nem tartalmaz ugrásokat.
• Diszkrét eloszlás esetén: Az eloszlásfüggvény lépésfunkció, ahol ugrások a lehetséges kimeneteknél vannak.

5. Különbségi tulajdonság - A valószínűségi tömegfüggvény (PMF) vagy a sűrűségfüggvény (PDF) és az eloszlásfüggvény közötti kapcsolat:

• Diszkrét esetben: $$P(X=k)=F(k)-F(k-1)$$
• Folytonos esetben: $$f(x)=F^{\prime }(x)$$ ahol $f(x)$ a sűrűségfüggvény.

6. Összegző tulajdonság - Két független véletlen változó $X$ és $Y$ eloszlásfüggvényei összeadhatók: $$P(X+Y\le z)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{F}_X(z-y)f_Y(y)dy$$ ahol $F_X$ és $f_Y$ a $X$ és $Y$ eloszlásfüggvényei.

7. Várható érték és szórás - Az eloszlásfüggvényből származtathatók a véletlen változó várható értéke ($E[X]$) és szórása ($\sigma$).

8. Összefüggés más eloszlásokkal - Az eloszlásfüggvények közötti kapcsolatok is léteznek (például normális, Poisson, binomiális eloszlás).

Sablon:Hunl