Feltételes eloszlás

1. Sablon:Humatek A valószínűségszámításban a valószínűségi változók feltételes eloszlása egy lehetőség arra, hogy többdimenziós valószínűségeloszlások viselkedését vizsgálják peremeloszlásokra vonatkozóan. A keletkezett eloszlás tartalmazza egyes koordináták értékéről megszerzett tudást. Fontos szerep jut nekik a Bayes-statisztikák készítésében, például az a-posteriori valószínűségek meghatározásában. A feltételes eloszlás a feltételes valószínűségre alapul, így osztozik annak problémáiban. Az általánosabb szabályos feltételes eloszlás a feltételes várható értékre épít, így megkerüli ezeket a problémákat.

Diszkrét eset

Adva legyen egy $Z=(X,Y)$ kétdimenziós valószínűségi változó ${\mathbb{Z}}^2$-en az $f(x,y)$ közös eloszlásfüggvénnyel. Ennek egyik peremeloszlása $Y$ eloszlása, az $f_Y(y)$ peremeloszlásfüggvénnyel. Ekkor $P(Y=y)>0$ esetén az

$f(x|y):=\frac{P(X=x,Y=y)}{P(Y=y)}=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$

valószínűségfüggvényű valószínűségi változó $X$ feltételes eloszlása, feltéve $Y=y$, valószínűségi függvénye feltételes valószínűségi függvény. A hozzá tartozó valószínűségi függvény jelölése $P_{X|Y=y}$.

Folytonos eset

Adva legyen a kétdimenziós $Z=(X,Y)$ valószínűségi vektorváltozó ${ℝ}^2$-en. Az

$F(x|y)=\underset{h\downarrow 0}{\lim }P(X\le x|y\le Y\le y+h)$

eloszlás feltételes eloszlásfüggvény $X$ feltételes eloszlása, feltéve $Y=y$.

Egy $f(x,y)$ közös sűrűségfüggvény és egy $f_Y(y)$ létezése esetén, amennyiben ez utóbbi nem egyenlő nullával, akkor a feltételes sűrűségfüggvény

$f(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$.