Karakterisztikus függvény

1. Sablon:Humatek A karakterisztikus függvény a valószínűségszámításban egy speciális, komplex értékű függvény, ami véges mértékekhez vagy szűkebb értelemben valószínűségi mértékekhez, illetve eloszlásokhoz rendelhető hozzá. A hozzárendelés bijektív, a karakterisztikus függvény meghatározza az eloszlást.

Jelentőségét az adja, hogy a valószínűségeloszlások egyes tulajdonságait könnyebb megismerni a karakterisztikus függvényből, mint az eloszlásból vagy más függvényekből. Így a valószínűségi mértékek konvolúciójára a karakterisztikus függvények szorzatából lehet következtetni.

Definíció

Legyen $\mu$ véges mérték $(ℝ,ℬ(ℝ))$-en. Ekkor $\mu$ karakterisztikus függvénye egy

${\phi }_{\mu }:ℝ\to ℂ$

komplex értékű függvény:

${\phi }_{\mu }(t):=\underset{ℝ}{\int }\exp (\mathrm{i}tx)\mathrm{d}\mu (x)$

Ha $\mu =P$, akkor ugyanez a definíció érvényes. Ha $X$ valószínűségi változó, és eloszlása $P_X$, akkor karakterisztikus függvénye

${\phi }_X(t)=\mathrm{E}(\exp (\mathrm{i}tX))$.

Speciális esetek:

• Ha $P_X$-nek van sűrűségfüggvénye a Riemann-integrál szerint és sűrűségfüggvénye $f_X(x)$, akkor

${\phi }_X(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_X(x)\exp (\mathrm{i}tx)\mathrm{d}x$.

• Ha $P_X$-nek van valószínűségi függvénye, és valószínűségi függvénye $p_X$, akkor

${\phi }_X(t)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\exp (\mathrm{i}t{x}_k)p_X(x_k)$.