Gamma-függvény

1. Sablon:Label A Γ-függvény (gamma-függvény) a következő képlettel definiált komplex változós függvény:

$\mathrm{\Gamma }(s):=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{s-1}{e}^{-t}dt.$

Mivel az $e^{-t}$ nagyon gyorsan 0-hoz tart, az integrál minden valós s > 0-ra sőt minden pozitív valós részű komplex s esetén létezik. Parciális integrálással adódik, hogy ha s valós része 1-nél nagyobb, akkor

$\mathrm{\Gamma }(s)=(s-1)\mathrm{\Gamma }(s-1)$

is teljesül. Emiatt a tulajdonsága miatt teljesül rá hogy ha n pozitív egész, akkor Γ(n) = (n − 1)!, azaz a gamma-függvény tekinthető a faktoriális művelet általánosításának −1 feletti valós számokra.

A faktoriálisnak léteznek más általánosításai is, de ez a legnépszerűbb és a legtöbb területen használt. A gamma-függvényt gyakran alkalmazzák a valószínűségszámítás területén, az analitikus számelméletben, s a Taylor-sorok elméletében és gyakorlatában is igen hasznos könnyítéseket lehet vele tenni. A gamma-függvény segítségével definiálható a béta-függvény és számos fontos valószínűség-eloszlás, például a gamma-eloszlás, a χ²-eloszlás, a Student-féle t-eloszlás (t-eloszlás) és az F-eloszlás. Sablon:Hunl