Kopula

1. Sablon:Label A kopula a valószínűségszámításban egy függvény, ami különböző valószínűségi változók peremeloszlásai és közös eloszlása között állít fel kapcsolatot. Segítségével szabadabban lehet modellezni a valószínűségi változók közötti kapcsolatot, mint korrelációval.

Definíció

A kopula egy $C:[0,1{]}^n\to [0,1]$ többváltozós eloszlásfüggvény, melynek egydimenziós peremeloszlásai egyenletes eloszlásúak $[0,1]$-ben. Ez a következőket jelenti:

• $C$ többváltozós eloszlásfüggvény, így:

• $\mathrm{\forall }u\in [0,1{]}^n:\min \{u_1,\dots ,u_n\}=0⟹C(u)=0$,
• $C$ n-növekvő, azaz minden $R=\prod _{i=1}^n[x_i,y_i]\subseteq [0,1{]}^n$ téglán a C-térfogat nemnegatív, $V_C\left(R\right):=\sum _{𝐳\in \prod _{i=1}^n\{x_i,y_i\}}(-1{)}^{N(𝐳)}C(𝐳)\ge 0$, ahol $N(𝐳):=|\{k\mid z_k=x_k\}|$,

• $C$ egydimenziós peremeloszlásai egyenletesek a $[0,1]$ intervallumon: $\mathrm{\forall }j\in \{1,\dots ,n\},u=(u_1,...,u_n)\in \{1{\}}^{j-1}\times [0,1]\times \{1{\}}^{n-j}:C(u)=u_j$.

Az utolsó követelmény motivációja a következő: Egy rögzített $n\in \mathbb{N}$ számra az $X_1,X_2,\dots ,X_n$ tetszőleges folytonos $F_{X_i},i\in \{1,2,\dots ,n\}$ eloszlású valószínűségi változók esetén $F_{X_i}(X_i)$ egyenletes eloszlású az $[0,1]$ intervallumon. Sablon:Hunl