Mátrix determinánsa

1. Sablon:Label A determináns a valós, négyzetes mátrixokhoz rendelt valós szám, ahol a hozzárendelés egy ${ℝ}^{n\times n}\to ℝ$ függvényként van definiálva. Tulajdonságai levezethetőek a valós számok, mint test, tulajdonságaiból, így általánosabban is bevezethető a fogalom. A vegyes szorzat általánosításának tekinthető. Legyen $T$ test, $d:T^{n\times n}\to T$ függvény és $A\in T^{n\times n}$ négyzetes mátrix. Jelölje $a_{ij}\in T$ a mátrix $i$-edik sorának $j$-edik elemét. A mátrix determinánsának nevezzük az alábbi formula által hozzárendelt, $d(A)$-val jelölt elemet:

   $d(A):=\sum _{(i_1,i_2,\dots ,i_n)}(-1{)}^{I(i_1,i_2,\dots ,i_n)}\prod _{j=1}^n{a}_{j{i}_j}$, ahol:

• $(i_1,i_2,\dots ,i_n)$ az $(1,2,\dots ,n)$ elemek egy permutációja,
• $I(i_1,i_2,\dots ,i_n)$ pedig a permutáció inverziószáma,
• a szumma pedig a permutációkra történő összegzés.

A determináns néhány szokásos jelölése:

• a mátrix megadásával: $det(A)$, $|A|$ ill. $det|A|$;
• vektorrendszerrel: $det(a_1,a_2,\dots ,a_n)$;
• mátrix oszlopvektoraival: $det\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \dots & a_n\end{array}\right)$;
• a mátrixelemek megadásával: $det\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ ⋮& & & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)$, illetve $\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ ⋮& & & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|$.

---

A mátrix determinánsának kiszámításához a Pythonban a numpy vagy a scipy könyvtárakat használhatjuk. Az alábbiakban bemutatok példákat a numpy könyvtár segítségével, amely a legelterjedtebb eszköz a mátrixok kezelésére.

---

Determináns számítása numpy segítségével

1. Egyszerű példa egy 2x2-es mátrixra

import numpy as np

# Mátrix definiálása
matrix = np.array([[1, 2], [3, 4]])

# Determináns kiszámítása
det = np.linalg.det(matrix)

print(f"A mátrix:\n{matrix}")
print(f"A determináns értéke: {det}")

2. Nagyobb mátrix (pl. 3x3 vagy annál nagyobb)

import numpy as np

# Mátrix definiálása
matrix = np.array([[2, 1, 3],
                   [1, 2, 1],
                   [3, 1, 2]])

# Determináns kiszámítása
det = np.linalg.det(matrix)

print(f"A mátrix:\n{matrix}")
print(f"A determináns értéke: {det}")

---

Determináns kerekítése

A numpy.linalg.det által visszaadott érték lebegőpontos szám, amely apró pontatlanságokat tartalmazhat. A kerekítéshez használhatjuk a round függvényt.

det = round(np.linalg.det(matrix), 2)
print(f"A determináns kerekített értéke: {det}")

---

Interaktív program determináns számítására

Az alábbi program lehetőséget biztosít egyedi mátrix megadására a felhasználótól:

import numpy as np

# Mátrix bekérése a felhasználótól
n = int(input("Add meg a mátrix méretét (n x n): "))
matrix = []

print("Add meg a mátrix elemeit soronként (szóközzel elválasztva):")
for i in range(n):
    row = list(map(float, input(f"{i+1}. sor: ").split()))
    matrix.append(row)

matrix = np.array(matrix)

# Determináns kiszámítása
det = np.linalg.det(matrix)

print(f"A megadott mátrix:\n{matrix}")
print(f"A determináns értéke: {det:.2f}")

Példa futásra:

Add meg a mátrix méretét (n x n): 3
Add meg a mátrix elemeit soronként (szóközzel elválasztva):
1. sor: 2 1 3
2. sor: 1 2 1
3. sor: 3 1 2
A megadott mátrix:
[[2. 1. 3.]
 [1. 2. 1.]
 [3. 1. 2.]]
A determináns értéke: -12.00

---

Hasznos megjegyzések

1. Ellenőrzések:
   • A mátrixnak négyzetesnek (n x n) kell lennie, különben a determináns nem értelmezhető.
2. Kerekítés:
   • A determináns lebegőpontos eredménye miatt érdemes a kimenetet kerekíteni.
3. Nulla determináns:
   • Ha a determináns értéke 0, a mátrix szinguláris, azaz nem invertálható.

---

• Sablon:En: Sablon:T