Analízis alaptétele

Sablon:Label

Analízis alaptétele (Fundamental Theorem of Calculus)

Az analízis alaptétele kapcsolatot teremt a deriválás és az integrálás között. Két részre osztható: az első tételre (a határozott integrál kiszámítása) és a második tételre (az integrál és a deriválás kapcsolata).

1. Első tétel (A határozott integrál kiszámítása) (Newton-Leibniz-tétel)

Ha $f (x)$ egy folytonos függvény egy $[a, b]$ intervallumon, és létezik egy $F (x)$ függvény, amely $f (x)$ -nek egy primitív függvénye (azaz $F^{'} (x) = f (x)$ ), akkor:

$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$

Magyarázat

Az $f (x)$ függvény $[a, b]$ -ig tartó görbe alatti területe az $F (x)$ primitív függvénnyel kifejezhető.
A határozott integrál kiszámolásának egyszerűsítésére szolgál.

2. Második tétel (Az integrál és a deriválás kapcsolata)

Ha $f (x)$ folytonos egy $[a, b]$ intervallumon, akkor az alábbi függvény:

$F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$

deriválható $(a, b)$ -n, és a deriváltja:

$F^{'} (x) = f (x)$

Magyarázat

Az $F (x)$ függvény az $f (x)$ -tól $a$ -tól $x$ -ig mért területet adja meg.
Az $F (x)$ deriváltja visszaadja az eredeti $f (x)$ függvényt.

Hétköznapi magyarázat

Első tétel:
- Ha tudjuk, hogy egy függvény integráljának (görbe alatti területének) határait, akkor az integrál értékét a primitív függvény $F (x)$ segítségével számolhatjuk ki.
- Példa: Ha $f (x) = x^{2}$ , akkor $F (x) = \frac{x^{3}}{3}$ , így: $\int_{1}^{2} x^{2} d x = F (2) - F (1) = \frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3} = \frac{7}{3} .$
Második tétel:
- Egy függvény integrálja olyan "visszaút", amely egy új függvényt hoz létre, amelynek deriváltja visszaadja az eredeti függvényt.
- Példa: Ha $f (x) = x^{2}$ , akkor az $F (x) = \int_{0}^{x} t^{2} d t = \frac{x^{3}}{3}$ , és: $F^{'} (x) = x^{2} .$

Geometriai értelmezés

Az $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ görbéje az $f (x)$ -görbe alatti területet adja meg $a$ -tól $x$ -ig.
Az $F^{'} (x)$ értéke az $f (x)$ -görbe pillanatnyi meredekségét mutatja meg.

Fontos megjegyzések

Az analízis alaptétele az integrálás és deriválás közötti alapvető kapcsolatot fogalmazza meg.
Ez a tétel az alapja az integrálkalkulusnak, amely lehetővé teszi a határozott integrál gyors és egyszerű kiszámítását a primitív függvény segítségével.
Gyakran használt a fizikai, mérnöki és statisztikai alkalmazásokban.

Példa az analízis alaptételére

Feladat

Számítsuk ki az $f (x) = 3 x^{2}$ függvény görbe alatti területét az $[1, 3]$ intervallumon!

Megoldás az analízis alaptételével

Függvény primitív függvényének meghatározása: Az $f (x) = 3 x^{2}$ primitív függvényét, $F (x)$ -et úgy kapjuk meg, hogy az $f (x)$ -et integráljuk: $F (x) = \int 3 x^{2} d x = x^{3} + C,$ ahol $C$ az integrálási konstans, de a határozott integrálban nem játszik szerepet.

Határozott integrál kiszámítása: Az analízis alaptétele szerint: $\int_{1}^{3} 3 x^{2} d x = F (3) - F (1) .$

Helyettesítsük be az $F (x) = x^{3}$ -et: $F (3) = 3^{3} = 27, F (1) = 1^{3} = 1 .$

Így a határozott integrál: $\int_{1}^{3} 3 x^{2} d x = 27 - 1 = 26 .$

Eredmény: Az $f (x) = 3 x^{2}$ függvény görbe alatti területe az $[1, 3]$ intervallumon: $26 .$

Geometriai magyarázat

Az $f (x) = 3 x^{2}$ függvény görbéje a parabola egy darabja.
Az $\int_{1}^{3} 3 x^{2} d x$ számítás eredménye azt mutatja, hogy a parabola alatti terület az $x = 1$ és $x = 3$ között 26 egység.

Ellenőrzés deriválással

Ha $F (x) = x^{3}$ , akkor deriválással visszakapjuk az eredeti függvényt: $F^{'} (x) = \frac{d}{d x} x^{3} = 3 x^{2} .$ Ez megerősíti, hogy az integrálási folyamat helyes volt.

Sablon:-ford-

Sablon:Hunl

Analízis alaptétele

Tartalomjegyzék