Gamma-eloszlás

1. Sablon:Label Az X valószínűségi változó p-edrendű λ paraméterű gamma-eloszlást követ – vagy rövidebben gamma-eloszlású – pontosan, ha sűrűségfüggvénye

$f(x)=\frac{{\lambda }^p{x}^{p-1}{e}^{-\lambda x}}{\mathrm{\Gamma }(p)},$

ahol Γ(p) a gamma-függvény, λ és p pedig pozitív.

Speciálisan, ha p = n/2 és λ = 1/2, akkor X-et n szabadsági fokú χ²-eloszlásúnak nevezzük, valamint az elsőrendű (p = 1) λ paraméterű gamma-eloszlás azonos a λ paraméterű exponenciális eloszlással.

A gamma-eloszlást jellemző függvények

Eloszlásfüggvénye

Karakterisztikus függvénye

$\phi (t)={(1-\frac{it}{\lambda })}^{-p}$

A gamma-eloszlást jellemző számok

Várható értéke

$𝐄(X)=\frac{p}{\lambda }$

Szórása

$𝐃(X)=\frac{\sqrt{p}}{\lambda }$

Momentumai

$𝐄(X^k)=\frac{\mathrm{\Gamma }(p+k)}{\mathrm{\Gamma }(p){\lambda }^k}$

Ferdesége

${\beta }_1(X)=\frac{2}{\sqrt{p}}$

Lapultsága

${\beta }_2(X)=\frac{6}{p}$